Системы счисления



Всероссийская интернет-выставка достижений учащихся

Раздел — учебные проекты

математика

Системы счисления

Авторы: Семакина Маргарита Сергеевна

Исаева Аида Мукаиловна

ученицы 5Г класса

МБОУ «Средняя

общеобразовательная школа

№ 6» г. Когалым ХМАО-Югра

Руководитель: Плашевская Светлана

Григорьевна

учитель математики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 6» г. Когалым

ХМАО-Югра

г. Когалым, 2013

Оглавление

Введение

стр.2

Из истории

стр.2

Системы счисления

стр.3

2.1 Непозиционные системы счисления

стр.3

2.2 Позиционные системы счисления

стр.3

3. Практическая часть

3.1 Сложение и вычитание

стр.4

Умножение и деление

стр.4

Перевод чисел из одной системы в другую

стр.5

Заключение

стр.7

Список используемой литературы

стр.7

Приложение

стр.8

1

Введение

На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Нам стало очень интересно, и мы решили изучить эту тему.

Данная тема нам интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

Мы поставили перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить перевод чисел из одной системы в другую и арифметические действия в различных системах счисления.

1. Из истории

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, третий – сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.

Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы использования при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».

Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12 (приложение 1). Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

2

Все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления.

2. Система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью цифр.

Цель создания системы счисления — выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Системы счисления, которые использовали ранее, и которые используются в настоящее время можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.

2.1. Непозиционные системы счисления.

В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления – римская система счисления (приложение 2). Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах часов.

В современной жизни наиболее яркий вариант использования непозиционной системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

2.2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и 1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.

3

Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия.

3. Практическая часть.

Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления – «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе. Считать мы будем в каждой системе своей меркой. Например в троичной системе мерка 3, в пятеричной мерка 5, в восьмеричной мерка 8.

3.1 Сложение и вычитание.

Пример 1

4435 + 345;

Решение:

4435

345

10325

Пример2 2478 + 6538;

Решение

2478

6538

11228

Пример 3

75428 – 7568;

Решение:

75428

7568

65648

3.2 Умножение и деление.

При умножении и делении, можно использовать мерки, но для более быстрого счета мы составили таблицы умножения ( приложения 3; 4; 5; 6; 7 ).

Пример 1

2458 ∙ 318;

Решение:

2458

318

245

757

100358

Пример 2

6337 ∙ 2547;

Решение:

6337

2547

3465

4431

1566

2410057

4

Пример 3

2234 ∙ 324;

Решение:

2234

324

1112

2001

211224

Пример 4

14126 : 356;

Решение:

14126 356

114 246

232

232

0

Пример 5

130325 : 145;

Решение:

130325 145

4235

43

33



102

102

0

Пример 6

3228 : 168;

Решение:

3228 168

16 178

142

142

0

3.3. Перевод чисел из одной системы в другую

Как перевести число, записанное в одной системе, например в четверичной, в десятичную?

Любое число можно разложить по разрядам и каждый разряд измеряется своей меркой. В десятичной системе у единиц мерка 1, у десятков 10, у сотен 100. Следовательно, в четверичной системе счисления, у единиц мерка 1, у десятков – 4, у сотен – 16, у тысяч – 64,

у восьмеричной системы мерками будут 1; 8; 64 и так далее.

Пример 1 Пример 2

Перевести 1378 в десятичную систему. Перевести 3124 в десятичную систему.

Решение: Решение:

1378 = 1 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 95. 3124 = 3 ∙ 16 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 54.

Пример 3

Перевести 1011012 в десятичную систему.

1011012 = 1∙ 32 + 1 ∙8 + 1 ∙ 4 + 1 = 45.

Пример 4

Перевести число 860 в восьмеричную систему счисления.

В данном примере мы воспользуемся меркой 8. Но если при переводе в десятичную систему мы умножали каждый разряд, то теперь будем делить число на мерку. Если частное больше мерки, то мы частное опять делим на мерку и так делим, пока частное не

5

станет меньше мерки. Остатки от деления как раз и есть разряды в данной системе счисления. Первый остаток – это разряд единиц, второй остаток – это разряд десятков и так далее.

Решение:

8 860 = 15348

107 8

60 8 13 8

56 27 8 1

4 24 5

3

Пример 5 Пример 6.

425 = 1156 382 = 30125

Решение: Решение:

6 382 5

7 6 35 76 5

5 6 1 32 5 15 5

1 30 26 15 3

2 25 0

1

При переводе чисел из троичной системы счисления в семеричную, мы сразу переводили из троичной в десятичную, а потом в семеричную. Этот способ занимает больше времени. Мы предположили, а что если при переводе из одной системы в другую сразу считать мерками той системы, в которую переводим. Проверили на нескольких примерах, и оказалось, что наше предположение верно. Тогда мы записали правило перевода.

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, нужно каждый разряд считать той меркой, в которую переводим данное число.

Пример 7.

Перевести 1425 в семеричную систему.

1425 = (3 ∙ 7 + 4 ) + (2 ∙ 7 + 6) + 2 = 30 + 20 + 15 = 657;

Число 15 считаем следующим образом: 4 + 6 + 2 =12 = 157.

Проверка: 1425 = 1∙ 25 + 4 ∙ 5 + 2 = 47; 47 : 7 = 657

Пример 8.

Перевести 3234 в шестеричную систему.

3234 = (8 ∙ 6 + 0) + (1 ∙ 6 +2) + 3 = 120 + 10 + 5 = 1356;

6

Проверка: 3234 = 3 ∙ 16 + 2 ∙ 4 + 3 = 59; 59 = 1356

6

54 9 6

5 6 1

3

Пример 9.

Перевести 689 в пятеричную систему.

689 = (10 ∙ 5 + 4) + (1∙ 5 + 3) = 200 + 10 + 12 = 2225

Проверка: 689 = 6 ∙ 9 + 8 = 62; 62 : 5 = 2225

5

5 12 5

12 10 2

10 2

2

Заключение



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap