Секреты листа Мёбиуса



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Весенненская средняя общеобразовательная школа»

Рождественские чтения

Номинация: «Точные науки»

Секреты листа Мёбиуса

Автор:

Арндт Анастасия

ученица 5 класса

Руководитель:

Арндт Ирина

Васильевна,

учитель математики

с. Весеннее

2014 год

Оглавление

Введение. ………………………………………………………..…..…..… с. 3

Глава I. Историческая справка. …..………………………………………. с. 3-4

Глава II. Лист Мёбиуса. ……………………………………………..…….с. 4-9

§1. Изготовление листаМёбиуса. ……………………………………..…..с. 4

§2. Эксперименты с листом Мёбиуса. ……..……………………………..с. 4-6

§3. Применение листа Мебиуса в жизни. ……………………………..… с.7-9

Заключение. ………………………………………..………………………..с. 9

Литература. ……………………………………………………………..….с. 10

Введение.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Примерлиста Мебиуса показывает, что может. Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса. Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который относится к «математическим неожиданностям», мы предлагаем вместе с нами провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.

Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.

Цель моей работы: исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.

Задачи: — собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса;

— исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса;

— показать применение ленты Мёбиуса в жизни.

Глава I. Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Лента мебиуса применениеАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868), родился в городе Шульпфорте, немецкий геометр, ученик «короля математиков» знаменитого К.Ф. Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий, он стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.Это было самое значительное событие в его жизни!

Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

В истории  нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса.  

В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому, ученику К.Ф. Гаусса – Иоганну Бенедикту Листингу (1808-1882), немецкому математику и физику, профессору Геттингенского Университета. Он дал название науке, изучающей непрерывность, — топология.

Лента мебиуса применениеТопология изучает свойства геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать. Первенство в открытии топологического объекта – ленты досталось  Августу Мебиусу.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона.



Глава II. Лист Мёбиуса.

§1. Изготовление листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса — хорошее введение к элементам топологии.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей.Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ1А1, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А1В1, т.е. так, что совместятся точки А и В1 и точки А1 и В.

Лист мебиуса

Получим перекрученное кольцо.И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?

§2.Эксперименты с листом Мёбиуса.

Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов, которые разделила на две группы:

I группа.

Опыт № 1. Начала красить лист Мёбиуса,  не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

Лист мебиуса в картинкахЛента мебиуса в искусстве«Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», — пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Опыт № 2.

Лента мебиуса применениеЛист мебиуса Представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует человечек — перевертыш, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности — наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, чтолента Мебиуса является односторонней поверхностью.Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом!

А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие. У листа Мёбиуса — всего одна сторона!

II  группа опытовсвязана с разрезанием листа Мебиуса. 

Я провела ряд экспериментов, результаты которых занесла в таблицу. 

опыта

Описание опыта

Результат

1.

Простое кольцо разрезали посередине вдоль.

Получили два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже.

2.

Лист Мёбиуса разрезали посередине вдоль.

Лист мебиуса в картинках

Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот.

Gif ист мебиуса

3.

Разрезать лентуМёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины.

Лента мебиуса применение

Получаются две ленты, одна-более короткая лента Мебиуса, другая — длинная

Лента мебиуса применение

лента с двумя полуоборотами.



4.

Ленту шириной 4см разделить на четыре равные части, начинать разрезать, отступив от края 1 см.

Получаются две ленты, одна – равная длине исходной, другая – длинная.Лист мебиуса

5.

Лист Мёбиуса шириной 5 см разрезать вдоль на расстоянии 1 см от края.

Получится два сцепленных друг с другом кольца: лист Мёбиуса шириной 3 см, длиной равной длине исходного и шириной 1 см, длина в два раза больше исходного, перекручена на два полных оборота.

Лист мебиуса в картинках

6.

Склеить лист Мёбиуса, перекрутив его два раза.

Получим два листа Мёбиуса, сцепленных друг с другом.

Лента мебиуса в искусстве

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.

§3. Применение листа Мебиуса в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

Лист Мёбиуса в  технике и физике

На магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с «двух сторон» не меняя местами.

Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса в природе и в жизни.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Таинственная лента Мёбиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Лента мебиуса применениеЛист мебиуса

.

Широко известны и его рисунки с изображением лента Мёбиуса.

Лист мебиуса в картинкахGif ист мебиуса

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.

Улицы многих городов украшают скульптуры на тему ленты Мебиуса.

Лента мебиуса применениеЛента мебиуса применениеЛист мебиусаЛист мебиуса в картинках

Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.

Лента мебиуса в искусствеЛента мебиуса применение

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, изображен на значке механико-математического факультета Московского университета.

Лист мебиусаМеждународный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны. 

Лист мебиуса в картинках

Архитекторы используют ленту Мебиуса в новаторских формах. Так, например,  выглядит невероятный проект новой библиотеки в Астане (Казахстан).

Gif ист мебиуса

Заключение.

Лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

Лист Мебиуса имеет один край.

Лист Мебиуса имеет одну сторону.

Лист Мёбиуса — топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Лист Мёбиуса — первая односторонняя поверхность, которую открыли. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. В этой работе я пыталась описать свойства прекрасной поверхности — листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса — топологическая фигура.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:



у математиков- идут дальнейшие исследования;

у школьников — очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. В дальнейшем я планирую продолжить исследования этого непредсказуемого листа.

Литература.

Волошинов А.В., «Математика и искусство» М.:»Просвещение», 1996г.

Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.

Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г.

Гусев В.А., Комбаров А.П. «Математическая разминка» М.:»Просвещение», 1986г.

Интернет — ресурсы сайта: http://ru.wikipedia.

Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками. Квант, 1974, №3.








sitemap
sitemap