Решение задач по формуле Пика исследовательская работа



МОУ «Хвастовичская средняя общеобразовательная школа»

Решение задач по формуле Пика

(исследовательская работа по математике)

Автор: Петракова Елена ученица

10 «Б» класса МОУ

«Хвастовичская средняя

общеобразовательная школа».

Научный руководитель:

Петракова Марина Викторовна-

учитель математики МОУ

«Хвастовичская средняя

общеобразовательная школа».

Хвастовичи 2011

— 3-

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь» (Д. Пойя).

В заданиях к ЕГЭ в первой части встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. На одном из сайтов нашли формулу Пика. Эта формула нас заинтересовала, и мы попробовала решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

— 4 —

3) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать результаты исследования.

Оглавление

Введение 3

Глава . Вокруг формулы Пика 5

Ι.1.Немного истории 5

Ι.2.Простые треугольники 7

Ι.3.Триангуляция многоугольника 11

Глава . Экспериментальная работа 14

ΙΙ.1.Нахождение площади многоугольников геометрическим методом 14

ΙΙ.2.Нахождение площади многоугольников по формуле Пика 22

Заключение 27

Список литературы 28

Приложение 1

— 5 —

Глава Ι. Вокруг формулы Пика

Немного истории

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 1 (Приложение 1). Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 (Приложение 1) нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае. Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки

S = B + 1, где S — площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки, Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника, а В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика – Жюлиа, Пика – Невалины, доказал неравенство Шварца – Пика.

Эта формула является классическим результатом комбинаторной геометрии и геометрии чисел. В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна . Этот факт даёт геометрические доказательства формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

— 6 –

Простые треугольники

Рассмотрим многоугольники, — в частности треугольники – с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Лист клетчатой бумаги будем считать бесконечным во всех направлениях, клетки – квадратами со стороной 1.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив ее как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линии сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Проделав это, например, для треугольников, изображенных на рисунке 1, можно убедиться, что площадь получается всегда равной «полуцелому» числу-числу вида m/2, где m-целое.

Рис.1

Назовем треугольник простым, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, за исключением вершин. (Такое название выбрано потому, что любой другой треугольник можно составить из простых). Обратите внимание, что все простые треугольники на рисунке 1 имеют площадь ½. Это не случайно. Рассмотрим задачу:

Три кузнечика (три точки) в начальный момент времени сидят в трех вершинах одной клетки, а затем начинают «играть в чехарду»: каждый может прыгнуть через одного из двух других, после чего оказывается в симметричной относительно его точке. В каких тройках точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики?

Назовем треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые вначале были в трех вершинах одной клетки; прыжком будет называться преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в точку, симметричную относительно любой из двух

— 7 —

других вершин (эти две вершины остаются на месте). Для решения задачи воспользуемся теоремой:

Теорема 1. Следующие три свойства треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги эквивалентны друг другу:

треугольник имеет площадь ½;

треугольник прост;

Треугольник достижим.

Свойства простых треугольников:

Площадь треугольника при прыжке не меняется.

Любой достижимый треугольник имеет площадь ½.

Если построить простой треугольник АВС до параллелограмма АВСD, то ни внутри, ни на сторонах этого параллелограмма не будет узлов (не считая вершин).

Из простого треугольника при прыжке получается простой.

У простого треугольника один из углов — тупой или прямой (причем последний случай возможен только для треугольника, у которого три вершины принадлежат одной клетке: такой простой треугольник со сторонами 1, √2 назовем минимальным).

Из любого простого не минимального треугольника можно одним прыжком получить треугольник, у которого наибольшая сторона меньше, чем наибольшая сторона исходного.

Любой простой треугольник можно конечным числом прыжков перевести в минимальный.

Любой простой треугольник достижим.

Любой простой треугольник имеет площадь ½.

Любой треугольник можно разрезать на простые.

Площадь любого треугольника равна m/2, причем при любом разрезании его на простые их количество равно m.

Любой треугольник площади 1/2- простой.

Для любых узлов А и В решетки, на отрезке между которыми нет других узлов, найдется узел С такой, что треугольник АВС — простой.

Узел С в предыдущей задаче можно всегда выбрать так, что угол АВС будет тупым или прямым.

— 8 —

Параллелограмм тогда и только тогда порождает решетку, состоящую из всех узлов клетчатой бумаги, когда каждый из треугольников, на которые его делит диагональ-простой.

Пусть кузнечики в начальном положении занимают какой-то определенный (а не произвольный) минимальный треугольник – в первоначальной формулировке задачи именно это и предполагалось. Поскольку каждый кузнечик смещается при прыжке обязательно на четное число клеток по горизонтали и вертикали, то он обязательно попадет в узел «своей» решетки с размером клеток 2*2.

Согласно теореме 1 кузнечики могут одновременно попасть в вершины простого треугольника.

Отсюда вытекает еще одно интересное свойство этих треугольников.

Если решетку — узлы клетчатой бумаги — разбить на четыре подрешетки с клетками 2*2, то вершины простого треугольника обязательно попадут в три разные подрешетки (все три имеют разный цвет).

Теперь уже нетрудно доказать следующие два утверждения, дающие ответ к задаче о трех кузнечиках.

Три кузнечика могут одновременно попасть в те, и только те тройки точек, которые служат вершинами простого треугольника и имеют тот же цвет, что и соответствующие вершины начального треугольника.

Два кузнечика одновременно могут попасть в те, и только те пары узлов соответствующих цветов, на отрезках между которыми нет других узлов.

— 9 –

Триангуляция многоугольника

Перейдём от частного случая к общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника.

Пусть на плоскости задан некоторый (не обязательно выпуклый) многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причем все вершины многоугольника принадлежат множеству К). Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников). Рис. 3.(Приложение 1)

Теорема 2.

а) Любой п — угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно п – 2. (Это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах п – угольника).

б)Пусть на границе многоугольника отмечено Г точек (включая все вершины), внутри – ещё В точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно Г + 2В – 2.

Из теоремы следует, что площадь многоугольника равна ( Г + 2В -2)∙ = . Этот факт доказал австрийский математик Пик Георг Александр в 1899 году.

Применения формулы Пика в основном связаны не с подсчётом площадей конкретных многоугольников, а с различными задачами и теоремами о ломаных на клетчатой бумаге.

— 10 –

Глава ΙΙ. Экспериментальная работа

2.1.Нахождение площади многоугольника геометрическим методом

Решим несколько задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, используя свойства геометрических фигур и формулы площадей.

Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Рис.1Исследования Георга пика Рис.2Исследования Георга пика

Решение 1. Заметим, что данный треугольник ABC является прямоугольным (A = 90о). Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна . Тогда катеты AB и AC данного треугольника будут равны . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то площадь данного треугольника будет равна 9. (Рис.1)

Решение 2. Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно, S = 9. (Рис.2) Ответ: 9 .

Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Рис.1 Исследования Георга пика Рис.2Исследования Георга пика

Решение 1. Основания AD и BC данной трапеции равны соответственно 4 и 2. Высотой является боковая сторона CD. Она равна 3. Так как площадь трапеции

— 11 —

равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна 9. (Рис.1)

Решение 2. Из точки B опустим перпендикуляр BH на AD. Он разобьет трапецию на прямоугольный треугольник ABH и прямоугольник HBCD. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 3. Смежные стороны прямоугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 6. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника и, следовательно, равна 9. (Рис.2) Ответ. 9.

Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Рис.1)

Рис.1Исследования Георга пикаРис.2Исследования Георга пикаРис.3Исследования Георга пика

Решение 1. Так как диагональ квадрата со стороной 1 равна , то сторона AC треугольника ABC равна 5√2 , высота BH, проведенная к этой стороне, равна 3√2/2. Следовательно, площадь данного треугольника равна 7,5.(Рис.2)

Решение 2. Разобьем данный треугольник ABC на два треугольника ABD и BDC. Их общая сторона BD равна 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь треугольника ABD равна 1,5, а площадь треугольника BDC равна 6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5. (Рис.3). Ответ: 7,5.

Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Рис.1 Исследования Георга пикаРис.2 Исследования Георга пикаРис.3 Исследования Георга пика

— 12 —

Решение 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. Катет AE равен 4, катет DE равен 2. Следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза AD равна 2√5 . Аналогично, для прямоугольного треугольника ABF катет AF равен 1, катет BF равен 2, Следовательно, гипотенуза AB равна √5. Площадь данного прямоугольника равна произведению его соседних сторон, т.е. равна 10.

Решение 2. Разобьем данный прямоугольник ABCD на два треугольника ABD и BCD. Сторона BD у них общая и равна 5. Высоты AE и CF, опущенные на эту сторону, равны 2. Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону, то площадь каждого из этих двух треугольников будет равна 5 и, следовательно, площадь прямоугольника будет равна 10. Ответ. 10.

5. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Рис.1)

Рис.1Исследования Георга пикаРис.2Исследования Георга пикаРис.3 Исследования Георга пика

Решение 1. Напомним, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна √2. Тогда диагонали АС и BD данного ромба будут равны соответственно 2√2 и 4√2, а его площадь будет равна 8. (Рис.2)

Решение 2. Достроим на сторонах ромба четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны 1 и 3. Площадь каждого такого треугольника равна 1,5. Ромб вместе с этими треугольниками образует фигуру, состоящую из четырнадцати единичных квадратов. Следовательно, ее площадь равна 14. Вычитая из нее площадь четырех треугольников, получим, что площадь ромба равна 8. (Рис.3) Ответ. 8.

6. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1. (Рис.1)

Решение 1. Основания AD и BC трапеции равны соответственно 2√2 и 4√2. Высота BH трапеции равна 3√2/2. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна 9. (Рис.2)

— 13 —

Рис.1Исследования Георга пикаРис.2 Исследования Георга пикаРис.3 Исследования Георга пика

Решение 2. Разобьем трапецию на параллелограмм ABCE и треугольник CDE. (Рис.3). Сторона AB параллелограмма ABCE равна 3, высота EH, к ней проведенная, равна 2, следовательно, площадь этого параллелограмма равна 6. Сторона CE треугольника CDE равна 3, высота DG, к ней проведенная, равна 2, следовательно, площадь этого треугольника равна 3. Площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника и, следовательно, равна 9.

Ответ. 9.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Рис.1Исследования Георга пикаРис.2 Исследования Георга пика

Решение 1. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABC и ACD. Сторона AC у них общая и равна 4. Высоты BH и DH равны 2. Следовательно, площади этих треугольников равны 4 и, значит, площадь четырехугольника равна 8.(рис.2)

Решение 2. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABD и BCD. Сторона BD у них общая и равна 4. Высоты AH и CH равны соответственно 3 и 1. Следовательно, площади этих треугольников равны соответственно 6 и 2. Значит, площадь четырехугольника равна 8. Ответ. 8.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

— 14 –

Рис.1Исследования Георга пика Рис.2 Исследования Георга пика

Решение 1. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ACB и ACD. Сторона AC у них общая и равна 2√2. Высоты BH и DH равны 3√2/2. Следовательно, площади этих треугольников равны 3. Значит, площадь четырехугольника равна 6. (Рис.2)

Решение 2. Площадь данного четырехугольника равна разности площадей треугольников ABD и CBD. В треугольнике ABD сторона BD равна 3√2 , высота AH равна 5√2/2. Следовательно, его площадь равна 7,5. В треугольнике CBD сторона BD равна 3√2, высота CH равна √2/2. Следовательно, его площадь равна 1,5. Таким образом, площадь данного четырехугольника равна 6. Ответ. 6.

9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.

Рис.1Исследования Георга пика Рис.2Исследования Георга пика

Решение 1. Напомним, что площадь S кругового сектора вычисляется по формуле Исследования Георга пика, где R – радиус круга, Исследования Георга пика — градусная величина угла сектора. В нашем случае Исследования Георга пика= 90о. Радиус R равен √5. Подставляя данные значения в формулу площади сектора, получим S = 5π/4 . Откуда S/π=1,25.

Решение 2. Заметим, что данный сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна π R2, где R – радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь S сектора равна 5π/4 . Откуда S/π=1,25. Ответ. 1,25.

— 15 —

10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Рис.1.Исследования Георга пика Рис.2. Исследования Георга пика

Решение. Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен 2 , радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь S кольца равна 4 и, следовательно, . Ответ:4.

— 16 —

2.2. Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Вычислим площадь многоугольников, данных в условиях задач из предыдущего пункта, используя формулу Пика, и проверим, всегда ли она применима при решении подобных задач.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 12, В = 4, S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 = 9

Исследования Георга пика Ответ: 9.

2.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.



Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

Исследования Георга пика Ответ: 9.

3.Найдите площадь треугольника ABC.

Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5

Исследования Георга пика Ответ: 7,5.

— 17 —

4. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 6, В = 8, S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Исследования Георга пикаОтвет: 10.

5.Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 4, В = 7, S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8

Исследования Георга пика Ответ: 8.

6.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 10, В= 5, S= В + Г/2 – 1= 5 + 10/2 – 1= 9

Исследования Георга пика Ответ: 9.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 7, S = В + Г/2 – 1=7 + 4/2 – 1= 8

— 18 —

Исследования Георга пика Ответ: 8.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

Исследования Георга пика Ответ: 6.

9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Исследования Георга пика Ответ: ≈ 1,11.

10.Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

— 19 —

Исследования Георга пика Ответ: ≈3,5.

Из решения задач №9 и №10 видим, что применение формулы Пика к фигурам, которые не являются многоугольниками, даёт приближённый результат.

Проверим применимость этой формулы к пространственным фигурам.

11.Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.

Эта замечательная формула не обобщается на большие размерности, даже на трехмерный случай. Это показал английский учёный Рив. Рассмотрим тетраэдр Рива, вершины которого имеют координаты Исследования Георга пика

(Здесь Исследования Георга пика— произвольное натуральное число.) При любом Исследования Георга пикавнутри этого тетраэдра нет ни одной целочисленной точки, а на границе нет никаких целочисленных точек, кроме A,B,Cи D. Таким образом, при различных объемах и площадях поверхностей данных тетраэдров число целочисленных точек, которые лежат внутри них и на их границах, остается неизменным, и обобщения формулы Пика получить не удается.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

— 20 —

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

— 21 –

Заключение

В результате изучения различных источников мы пришли к рассмотрению свойств простых треугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Из всех свойств можно выделить следующее: любой простой треугольник имеет площадь . Используя это свойство и следующую теорему: пусть на границе многоугольника отмечено Г точек ( включая все вершины), внутри – ещё В точек, тогда существует разбиение с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такого разбиения будет равно Г + 2В – 2, австрийский математик Пик Георг Александр вывел формулу S = .



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap