Решение уравнений с параметрами координатно — параметрическим методом



Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1 им. М. А. Бухтуева»

г. Кызыла Республики Тыва

XIV общешкольная научно – практическая конференция учащихся



Решение уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Автор: Бланк Мария Олеговна,

ученица 11 «В» класса

МБОУ «СОШ № 1 им. М. А. Бухтуева»

Руководитель: Белоусова Татьяна Ивановна,

Учитель математики высшей категории.

г. Кызыл,

2012 год.

Содержание:

Актуальность темы…………………………………………………………………………стр. 3

Цель работы………………………………………………………………………………..стр. 3

Задачи работы………………………………………………………………………………стр. 3

Методы работы…………………………………………………………………………….. стр. 3

Введение……………………………………………………………………………………стр. 4

Историческая справка……………………………………………………………..стр. 5

История появления уравнений высших степеней в математике………………стр. 5

История появления «схемы Горнера» и немного о создателе……………………стр. 5

Методы решения уравнений высших степеней…………………………………..стр. 6

Метод замены переменной………………………………………………………….стр. 6

Метод группировки…………………………………………………………………стр.12

«Схема Горнера»………………………………………………………………… стр.14

Заключение…………………………………………………………………………………стр.18

Список литературы……………………………………………………………………….стр.19

Актуальность темы:

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом. В связи с этим у меня возник интерес в написании работы на тему: «Решение уравнений высших степеней. Метод Горнера», чтобы повысить свой уровень знаний по алгебре и успешно сдать экзамен в конце учебного года по окончании школы.

Цель работы: научиться решать уравнения высших степеней различной сложности.

Задачи работы:

Изучить историю появления уравнений высших степеней в математике.

Познакомиться с биографией У. Горнера, историей появления «схемы Горнера» в математике.

Овладеть различными навыками решения уравнений высших степеней, в частности, «схемой Горнера».

Показать решение нестандартных уравнений высших степеней.

Показать практическое применение уравнений высших степеней.

Методы работы:

Изучение литературы.

Поиск нестандартных уравнений высших степеней и поиск их рационального решения.

Отрабатывание навыка решения уравнений высших степеней «схемой Горнера».

Анализ полученной информации.

Нахождение практического применения уравнений высших степеней.

Введение.

Сегодня Россия нуждается в специалистах в области инженерии, точного машиностроения, но у учащихся редко возникает повышенный интерес к точным наукам, особенно к математике. Несмотря на то, что математика – царица всех наук и имеет обширный прикладной характер: в быту, в психологии, в химии, в астрономии и др., поэтому любая тема для научно – исследовательской работы по математике очень актуальна.

Тема моей работы еще актуальнее, поскольку мне, как выпускнице школы предстоит экзамен по математике в форме ЕГЭ, затем вступительные экзамены в ВУЗы, а на заданиях с уравнениями высших степеней проверяют умения учащегося логически мыслить, знания школьной программы курса алгебры, но и в геометрии, физике, делая какие-либо выкладки для решения той или иной задачи, необходим навык решения уравнений со степенью выше 3.

Научиться решать уравнения высших степеней сложно, но возможно. Я хочу хорошо владеть навыками решения уравнений высших степеней, чтобы расширить свой кругозор знаний по математике, успешно сдать ЕГЭ по математике, развивать логическое и математическое мышление. ВУЗы на заданиях подобного типа проводят проверку абитуриента перед зачислением в высшее учебное заведение.

Мне, как молодому исследователю, очень интересно работать над этой темой, поскольку в какой бы ВУЗ вы не собрались поступать, а математика – обязательный для сдачи предмет по окончании школы, и задания с уравнениями высших степеней, на мой взгляд, будут включать для полной проверки усвоенных знаний выпускника.

Историческая справка.

История появления уравнений высших степеней в математике.

В 16 в. итальянские математики Н. Тарталья (14991577), С. Даль Ферро (14651526), Л. Феррари (15221565) и Д. Кардано (15011576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, –, , , =, > и <. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (15401603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Джероламо Кардано, Декарт и Исаак Ньютон (16431727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 – 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 – 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К. Фридрих Гаусс (17771855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.

Основная задача алгебры – поиск общего решения алгебраических уравнений – продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н. Абель (18021829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э. Галуа (18111832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики. Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Жозефа Луи Лагранжа (17361813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (17521833) в своих работах неявно использовали понятие группы.

История появления «схемы Горнера»

Горнер Уильям Джордж (1786 — 1837) — английский математик. Родился в городе Бристоль в Англии. Получил образование в Кингствудской школе Бристоля. В возрасте 14 лет он стал помощником директора в Кингствудской школе и директором 4 года спустя. Он уехал из Бристоля и основал свою собственную школу в 1809 году в Бате.

Основные труды относятся к решению алгебраических уравнений. В 1819 году опубликовал способ приближённого вычисления действительных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII веке). Работа была напечатана в философских работах Королевского научного сообщества.

В XIX — начале XX века метод Горнера занимал значительное место в английских и американских учебниках по алгебре. Де Морган показал широкие возможности метода Горнера в своих работах. Именем Горнера названа схема разложения многочлена на двучлен X-A. До этого предшественник Горнера Этьенн Безу доказал теорему о том, что остаток от деления Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а).

Горнер умер 22 сентября 1837 года. После смерти Горнера сын, которого тоже звали Уильям, продолжил управления школой в Бате.

Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х2-9)2-8(х2-9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х2-9=t, тогда получаем:

t2-8t+7=0, D=b2-4ac=36, t1=7; t2=1.

Возвращаемся к “старой” переменной х2-9=1, х=±√10; х2-9=7, х=±4.

Ответ: х1=+√10; х2=-√10; х3=-4; х4=4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6; t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 . Получим:

=

)=18

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

;

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х1=; х2=

Решим второе уравнение х2 — х – 20 = 0, D =81, х3 = — 4, х4 = 5.

Ответ: х1=; х2=; х3 = — 4, х4 = 5.

Пример 4. Дано:

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х4+324=х4+182,

2+18)24+36х2+324, тогда х4+324= х4+36х2+324-36х2. Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х2=t, получаем:

D=

х1,2 = = . Тогда:

х2-25=0, или х2+6х+18=0

х= D=36-72=-36, D<0 – решений нет, т.е. вся парабола полностью лежит выше Ох и не пересекает ее.

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Ответ: х=±5.

Пример 5. Дано: (х-1)42+2х-73

Решение. Преобразуем:

(х-1)4-(х2-2х+1)-72, (х-1)4-(х-1)2-72.

Введем новую переменную: (х-1)2=t, t2-t-72=0, D=1+288=289

t1,2=.

Возвращаемся к «старой» переменной:

(х-1)2=9, 2) (х-1)2=-8

х2-2х+1-9=0, х2-2х+1+8=0 ,

х2-2х-8=0 х2-2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D<0 – решений нет.

х1,2=

Ответ: х=4;-2.

Пример 6. Дано: (х2-2х-1)2+3х2-6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х2-2х-1)2+3(х2-2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х2-2х-1=t

T2+3T-10=0

D=49 х1,2=

Возвращаемся к «старой» переменной:

х2-2х-1=-5, 2) х2-2х-1=2

х2-2х-1+5=0, х2-2х-1-2=0 ,



х2-2х+4=0 х2-2х-3=0

D=4-16=-12, D<0 – решений нет. D=16

х1,2=

Ответ: х=3;-1.

Пример 7. Дано:

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1)2, получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;

Пример 8. Дано:

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

 

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Пример 9. Дано:

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

,

вводим замену:

, тогда

Решим это уравнение:

 

 

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;.

Пример 10. Дано:

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1)2=а; (х+1)2=b, получаем:

а2+9b2-10аb=0, поделим на а2, 1+9(2-10(), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t2-10t+1=0, D=100-36=64, t1,2=

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1)2=(х-1)2; 2) (х-1)2=9(х+1)2.

Решаем уравнения:

х2+2х+1=х2-2х+1, 2) х2-2х+1=9х2+18х+9,

4х=0, -8х2-20х-8=0

х=0. D=400-64∙4=144

х1,2=

Ответ: х=0; -2; —

Метод группировки.

Пример 1. Дано:

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

,

Проводим преобразования и получаем:

+

2(х+2)(,

2(х+2)=0, или

х1=-2. Введем замену: х2+4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х2+4х=,

х2+4х+1,5=0,

D=16-6=10,

х2,3= Ответ: х1=-2; х2=-2+; х3= -2-.

Пример 2. Дано: х4+2х3+2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х2, получим:

х2+2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

2+

(х+2-2+2(

вводим новую переменную: t= х+, t2+2t-2=0, D=4+8=12,

t1,2==



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap