Исследовательская работа теоремы Пифагора в различных сферах человеческой жизни



Департамент по образованию администрациимуниципального образования г. НоябрьскМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа №6 »

Научное направление: Математика

Теорема Пифагора

Автор работы: Будз Ярослав МБОУ СОШ №6 8 а класс Научный руководитель: Милько Т. В.

О г л а в л е н и е

Введение……………………………………………………………………………………………3

Основная часть

1. О Пифагоре……………………………………………………………………………………...4

2. О теореме Пифагора: история теоремы, названия,

способы и примеры доказательств……………………………………………………………..5

3. Анализ доказательств теоремы…………………………………………………………..….5-11

4. Области применения теоремы:

а) математика………………………………………………………………………………..…..12

б) физика………………………………………………………………………………………….12

в) астрономия…………………………………………………………………………………….13-14

г) строительство и архитектура……………………………………………………………….15

д) лесная промышленность…………………………………………………………………….16

е) строительство дорог и перевозка грузов…………………………………………………..16-19

ж)бытовая сфера: а) молниеотводы………………………………………………………….19

б) установка шкафа-купе…………………………………………….….19-20

Заключение…………………………………………………………………………………………..21

Информационные источники……………………………………………………………………..22

Приложение………………………………………………………………………………………….23-28

Введение

Цель работы: найти ответ на вопрос: почему на протяжении

многих веков теорема Пифагора не теряет своей актуальности.

Задачи: 1. Проанализировать источники возникновения теоремы и

способы ее доказательств;

2. Исследовать практическое применение теоремы

в различных сферах человеческой жизни.

Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и

сегодня, то в ней заложены такие основы, которые

позволяют использовать её в широком диапазоне: от науки

до быта.

Методы исследования:1. Изучение доступных источников

информации по теме и их анализ. 2. Социальный опрос.

Актуальность:1.Зная теорему Пифагора, можно находить её новые применения и способы доказательств.

2.Материалы работы могут использовать учителя, а также учащиеся с целью систематизации и углубления знаний по геометрии.

Основная часть.

О Пифагоре.

Пифагор – древнегреческий философ, математик, астроном. Обосновал многие свойства геометрических фигур, разработал математическую теорию чисел и их пропорций.Внёс значительный вклад в развитие астрономии и акустики. Автор «Золотых стихов», основатель пифагорейской школы в Кротоне.

По преданию Пифагор родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в богатой купеческой семье. Его мать – Пифазис, получила свое имя в честь Пифии, жрицы Аполлона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, сын также был назван в честь Пифии. По многим античным свидетельствам мальчик был сказочно красив и вскоре проявил свои незаурядные способности. Первые познания получил от своего отца Мнесарха, ювелира, резчика по драгоценным камням, который мечтал, что сын станет продолжателем его дела. Но жизнь рассудила иначе. Будущий философ обнаружил большие способности к наукам. Среди учителей Пифагора были ФерекидСиросский и старец Гермодамант. Первый привил мальчику любовь к науке, а второй — к музыке, живописи и поэзии. Впоследствии Пифагор познакомился известным философом – математиком Фалесом Милетским и по его совету отправился в Египет – центр тогдашней научной и исследовательской деятельности. Прожив 22 года в Египте и 12 лет в Вавилоне, он вернулся на остров Самос, затем покинул его по неизвестным причинам и переехал в город Кротон, на юг Италии. Здесь он создал пифагорейскую школу (союз), в которой изучали различные вопросы философии и математики. В возрасте примерно 60 лет Пифагора женился на Феано, одной из своих учениц. У них рождены трое детей, и все они становятся последователями своего отца. Исторические условия того времени характеризуются широким движением демоса против власти аристократов. Спасаясь от волн народного гнева, Пифагор и его ученики переехали в город Тарента. По одной версии: к нему пришел Килон, богатый и злой человек, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начал борьбу с Пифагором. При пожаре ученики своей ценой спасли жизнь учителю. Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Следует отметить, что это один из вариантов его биографии. Точные даты его рождения и смерти не установлены, многие факты его жизни противоречивы. Но ясно одно: этот человек жил, и оставил потомкам большое философское и математическое наследие

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется следующим образом: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Открытие этого утверждения приписывают Пифагору Самосскому (XII в. до н. э.)

Изучение вавилонских клинописных табличек и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема

была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.

( Но есть предположение, что Пифагор дал ее полноценное доказательство)

Но есть и другое мнение: в пифагорейской школе был замечательный обычай приписывать все заслуги Пифагору и несколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть нескольких случаев.

(Ямвлих-сирийский грекоязычный писатель, автор трактата «Жизнь Пифагора». (II век н. э)

Так немецкий историк математики Кантор считает, что равенство 32 + 42=52 было

известно египтянам около 2300 лет до н. э. во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея ). Одни полагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказываю ему в этой заслуге.

Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в своих «Началах». С другой стороны Прокл (математик, 5 века) утверждает, что

доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду, то есть история математики почти не сохранила достоверных данных о математической деятельности Пифагора. В математике, пожалуй, не найти никакой другой теоремы, заслуживающей всевозможных сравнений.

В некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема назвалась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой(«теорема бабочки»), что по гречки назвалось нимфой. Этим словом греки назвали еще некоторых богинь, а также молодых женщин и невест. Арабский переводчик не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста». Так появилось ласковое название «теорема невесты». Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Отсюда еще одно название- «теорема ста быков».

В англоязычных странах ее назвали: «ветряная мельница», «павлиний хвост», «кресло невесты», «ослиный мост» (если ученик не мог через него «перейти», значит, он был настоящим « ослом»)

В дореволюционной России рисунок теоремы Пифагора для случая равнобедренного треугольника называли «пифагоровыми штанами».

Эти «штаны» появляются, когда на каждой стороне прямоугольного треугольника построить квадраты во внешнюю сторону.

Сколько существует различных доказательств теоремы Пифагора?

Со времен Пифагора их появилось более 350.Теорема попала в Книгу рекордов Гиннеса. Если проанализировать доказательства теоремы, то принципиально различных идей в них используется немного.

www.openclass.ru

http://edu.glavsprav.ru/info/teorema-pifagora/

moypifagor.narod.ru

Доказательства теоремы можно разделить на три группы:

Доказательства

Аддитивные Метод достроенияМетод вычитания

Основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе:

аоказательство Эйнштейна и др.

К квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Метод разложения

Алгебраический метод

Векторный метод

Метод подобия

3) У индийского математика Бхаскары (xii век) находим фигуру. Под рисунком одно слово «Смотри». Фигуру явно легко расшифровать.

Такое же доказательство повторяется в книге итальянского математика Леонарда Пизанского (известного как Фибоначчи). «Практическая геометрия» (1220 г.)

В своей работе я привожу несколько доказательств этой теоремы

www.student.km.ru

thpif.narod.ru

http://www.clascalc.ru/pithagoreantheorem.htm

www.moypifagor.narod.ru

Геометрическое доказательство

Дано: треугольник АВС – прямоугольный треугольник.

Доказать: ВС² = АС² + АВ²

В

Е

АСD

Рис. 4

Доказательство:

I. Дополнительное построение:

1) Построим отрезок CD равный отрезку АВ прямоугольного треугольника АВС на продолжении катета АС;

2) Опустим перпендикуляр ED к отрезку AD равный отрезку АС прямоугольного треугольника АВС, DE ┴ AD;

3) Соединим точки В и Е и получим прямоугольную трапецию.

II. Площадь трапеции АВЕD равна сумме площадей трёх её треугольников ( АВС, CDE, ВСЕ)

Треугольники АВС, CDE являются равными, так как все стороны и углы этих треугольников равны. Площадь треугольника АВС = АВ*АС, площади треугольников АВС и CDE = 2 АВ*АС.

Треугольник ВСЕ – прямоугольный равнобедренный, так как ВС = СЕ (по построению). SВСЕ = ВС²/2

SABED = SABC + SCDE + SBCE

SABED = 2 SABC + SBCE

SABED = (2 АВ*АС)/2 + ВС² / 2

1) SABED = АВ*АС+ ВС² / 2

Фигура ABED является прямоугольной трапецией, значит, её площадь равна:

«Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту».

2)SABED= (ED +АВ) *AD /2

Приравняем равенства 1) и 2) и получим:

АВ*АС+ ВС² /2 = (ED +АВ) *AD /2

Заменим ADна АС + CD:

АВ*АС+ ВС² /2 = (ED +АВ)(АС + CD) /2

Заменим (ED +АВ)(АС + CD) на (АС + АВ)², так как ED = АС, АВ = CD, поэтому выражение (ED +АВ)(АС + CD) равно:

(ED +АВ)(АС + CD) = (АС + АВ)²

АВ*АС+ ВС² /2 = (АС + АВ)² /2

АВ*АС+ ВС² /2 = (АС² + 2 АС*АВ + АВ²) /2

АВ*АС+ ВС² /2 = АС² /2 + 2 АС*АВ /2 + АВ² /2

АВ*АС+ ВС² /2 = АС² /2 + АС*АВ + АВ² /2

ВС² /2 = АС² /2 + АВ² /2

Умножим ВС² /2 = АС² /2 + АВ² /2 на 2

2 ВС² /2 = 2 АС² /2 + 2 АВ² /2 Сократим все двойки этого выражения:

2 ВС² /2 = 2 АС² /2 + 2 АВ² /2. ВС² = АС²+ АВ².

Доказательство Эвклида.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.

Приведём другое доказательство теоремы Пифагора, основанное не на вычислении площадей, а на непосредственном их сравнении между собой.

Доказательство Эвклида

Это доказательство было приведено Эвклидом в его «Началах». По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Эвклидом. Доказательство Эвклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал».На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

Применение теоремы пифагора в физике

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

Но

SABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC=1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD=SFBC,

имеем

SBJLD=SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ,доказывается, что

SJCEL=SACKG.

Итак,

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, Что и требовалось доказать.

Доказательство Перигаля.

На этом рисунке видим так называемое «колесо с лопастями»; это доказательство нашел Перигаль. Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Применение теоремы пифагора в физике

Доказательство Хоукинса

Доказательство хоукинсаПриведу еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличаетсяот предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В).

SCAA’=b²/2

SCBB’=a²/2

SA’AB’B=(a²+b²)/2

Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому

SA’AB’B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

В одиннадцатилетнем возрасте эту теорему доказал и Эйнштейн методом подобия.

А если говорить о наглядном иллюстрировании теоремы Пифагора, которое

поняли бы и младшие школьники, то можно применить взвешивание. Если из

картона вырезать три квадрата, стороны которых равнялись бы сторонам данного прямоугольного треугольника, и положить два меньших квадрата на одну чашку чувствительных весов, а на вторую-третий, то весы будут в равновесии.

Не менее интересна и арифметическая сторона теоремы Пифагора. Речь идет о

решениях уравнения x2 + y2 = z2 * в целых числах. Это уравнение называют уравнением Пифагора, а треугольники с целочисленными сторонами – пифагоровыми треугольниками. Доказано, что уравнение * имеет решения

x=m2-n2 ,y=2mn ,z=m2+n2 ( числа m и n разной четности).numbernautics.ru›content/view/411/

Обобщение проблемы пифагоровых треугольников привело к решению в целых числах уравненияxn+ yn= zn , где n -целое (**). Такую задачу поставил французский математик Пьер Ферма (1601-1665)

Судя по записи на полях «Арифметики», Ферма нашел доказательство факта,

но среди его математического наследия оно не сохранилось.

Большая теорема Ферма не доказана до сих пор, но и не опровергнута

( чтобы ее опровергнуть, надо привести хотя бы один пример, когда уравнение имеет решение).

В средние века в некоторых странах, чтобы получить звание « магистра», нужно было найти своё собственное доказательство.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap