Исследовательская работа Правильные Паркеты



СОДЕРЖАНИЕ.

Введение………………………………………………………………… 2

История Паркета…………………………………………………………4

Паркет из правильных многоугольников………………………………5

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа………………………………………..6

II. Замощение окрестности точки двумя правильными многоугольниками ……………………………………………………..8

III.Замощение окрестности точки тремя правильными многоугольниками …………………………………………….12

IV.Замощение окрестности точки тремя правильными многоугольниками …………………………………………….14

V.Замощение окрестности точки пять и шестью правильными многоугольниками ……………………………………………..14

Вывод……………………………………………………………………..16

Заключение……………………………………………………………….17

Используемая литература……………………………………………….18

Приложение………………………………………………………………19

Введение

В начале прошлого столетия великий» французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия! ». Сегодня уже в начале 21 столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Все это создано руками человека, вооруженного геометрическими знаниями. На уроках геометрии мы изучали тему «Многоугольники», и я решила выяснить, где можно найти применение этой темы. Если посмотреть вокруг, то можно увидеть, что в настоящее время для оформления интерьера квартир широко используют паркет. Паркеты имеют разную форму и окраску. Мне стало интересно, как создаются паркеты и как это связано с геометрией. На уроках геометрии изучается тема: «Многоугольники». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать эти многоугольники вокруг себя: паркет, линолеум, кафельная плитка, геометрические орнаменты в художественных изделиях, в оформлениях книг. А сколько же их может быть этих паркетов, встал передо мной вопрос? Как их так мудро и красиво соединяют? Этот материал мы еще не изучали, и передо мной встала

цель: подробно изучить паркеты.

Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Задачи:

Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме.

Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.

Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.

Оформить презентацию для защиты работы.

Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

Объект исследования — паркеты.

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

История Паркета

Во все времена и у всех народов в строительстве интерьера полам и их убранству уделялось большое внимание. Еще в древние времена в Египте, Индии, Китае, и во многих других странах создавали прочные и красивые полы. В средние века «паркету» стали уделять больше внимания, он стал неотъемлемой частью новых домов, дворцов и замков. Но своего художественного совершенства пол из «дубовых кирпичей» достигает к началу XVII века в разных странах Европы. Следует отметить, что художественная форма паркета тесно связана с общим стилистическим развитием искусства и архитектуры.

В общественных зданиях Древней Руси полы делали из дерева, досок или из «деревянных кирпичей». Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название «елочка», а сам пол называли «косящатым». Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.

Так, уже в XVII в. наиболее распространенным приемом укладки паркета был способ, называемый «дубовым кирпичом»: паркетины в форме кирпичей укладывали на известковой основе, швы между дубовыми кирпичами заливали известью, смешанной со смолой. Вдоль стен иногда делали дубовый бордюр. Такой паркет знали на Руси и раньше, он уже был известен по Дмитровскому собору во Владимире, по храму Василия Блаженного и Донскому монастырю в Москве. Но в отличие от тех полов к концу XVII в. он стал более искусным в художественном отношении. Паркет начала XVIII в. связан с русской резьбой. Высокохудожественная резьба по дереву и металлу процветала в XVII в. в московских мастерских Оружейной палаты. В 1711 г. Петр I закрыл эти мастерские, а всех резчиков перевел в Петербург на корабельные верфи. Эти кадры мастеров и были использованы адмиралтейством при изготовлении паркетов петербургских дворцов. Паркет — лицевой слой пола, настилаемый по определенному рисунку из отдельных строганых дощечек (клепок). Паркетом называют также и сам материал, из которого выкладывается паркетный пол. Полы из паркета настилаются в жилых и общественных зданиях, они отличаются красивым внешним видом, малой тепло- и звукопроводностью.

Паркет из правильных многоугольников

Итак, чтобы определить кол-во правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны».

Что же называется правильным паркетом?

Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда – сумма всех внутренних углов многоугольника. каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360.

Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа.

Паркеты, состоящие только из правильных треугольников.

Количество сторон: ;

Угол многоугольника:

Количество многоугольников: – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных четырехугольников (квадрат).

Количество сторон: ;

Угол многоугольника:

Количество многоугольников: – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных пятиугольников.

Количество сторон: ;

Угол многоугольника:

Количество многоугольников: – ненатуральное число.

Паркет, состоящие из правильных шестиугольников.

Количество сторон: ;

Угол многоугольника:

Количество многоугольников:

Итак , величина угла правильного n-угольника определяется по формуле

Используя эту формулу , для различных значений получаем следующие величины углов правильных n-угольников

n

7

8

9

10

11

12

1350

1400

1440

1500

Для того чтобы определить , при каком значении вокруг данной точки укладывается целое число углов , надо определить , для каких значений 3600 делится на это число. Значит из результатов расчета следует это возможно только при =600, 900,1200.

II. Замощение окрестности точки двумя правильными многоугольниками

Выясним условия , при которых окрестность точки можно замостить без пропусков и перекрытий комбинациями разных правильных многоугольников. Так величина угла должна быть .

3600:3=1200<1800 , следовательно, наименьшее количество правильных многоугольников , которые можно уложить , чтобы покрыть окрестность точки, равно3.

3600:6=600<1800. Значит наибольшее количество правильных многоугольников , которые можно уложить , чтобы покрыть окрестность точки, равно 6.

Пусть n1 – количество треугольников, n2– количество квадратов. Чтобы составить паркет должно выполняться равенство 600 n1+900 n2=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

n1

n2

Количество треугольников и квадратов

1

90n2 = 360-60·1;

90 n2 = 300;

n2 ==.

задача решений не имеет при n1 = 1

2

90 n2 = 360-60·2;

90 n2 = 240;

n2 ==2.

задача решений не имеет при

n1 = 2,

3

90 n2 = 360-60·3;

90 n2 = 180;

n2 ==2.

задача имеет решение.

n1 = 3, n2 = 2, т.е. три треугольника и два квадрата

4

90 n2 = 360-60·4;

90m = 120;

n2 ==.

задача решений не имеет при n1 = 4

5

90 n2 = 360-60·5;

90 n2 = 60;

n2 =

задача решений не имеет при n1 = 5

6

600

задача решений не имеет, так как сумма углов вокруг одной точки получается больше 3600.

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов

тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.

Пусть n1 – количество треугольников, n2 – количество шестиугольников. Чтобы составить паркет должно выполняться равенство 600 n+1200m=3600

n1

n2

Количество треугольников и шестиугольников

1

120 n2 = 360-60·1;

120 n2 = 300;

n2 ==.

Задача решений не имеет при n = 1

2

то 120 n2 = 360-60·2;

120 n2 = 240;

n2 ==2.

Задача имеет решений при

n = 2, n2 = 2,

т.е два треугольника и два шестиугольника

3

120 n2= 360-60·3;

120 n2 = 180;

n2 =.

Задача не имеет решение при n1 = 3

4

120 n2 = 360-60·4;

120 n2 = 120;

n2 =.

Задача имеет решений при n1 = 4, n2=1

5

120 n2 = 360-60·5;

120 n2 = 60;

n2 =

задача решений не имеет при n1 = 5

n>5

600 +1200=4800

задача решений не имеет, так как сумма углов вокруг одной точки получается больше 3600.

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов двумя

двумя треугольниками и двумя шестиугольниками ;

четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.

Обозначим n1 – количество квадратов, m – количество восьмиугольников, Чтобы составить паркет должно выполняться равенство 900 n1+1350 n2=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

n1

n2

Количество треугольников и шестиугольников

1

135 n2 = 360-90·1;

135 n2 =270;

n2 =.

Задача имеет решений :n1 = 1 и n2=2

2

135 n2 = 360-90·2;

135 n2 = 180;

n2 =.

Задача не имеет решений при n1 = 2

3

135 n2 = 360-90·3;

135 n2 = 90;

n2 =.

Задача не имеет решение при n1 = 3

4

135 n2 = 360-90·4;

135 n2 =0;

n2 =.

Задача не имеет решений при n1 = 4,

5

задача решений не имеет, так как сумма углов вокруг одной точки получается больше 3600.

III.Замощение окрестности точки тремя правильными многоугольниками

Пусть окрестность точки замощена правильными многоугольниками только трех типов : n1—угольниками, n2угольниками, n3—угольниками.

Пусть n1 n2 n3. Так как правильный многоугольник с наименьшим количеством углов – это треугольник, то n1,.

, ,

.

Расмотрим четыре возможных случая :

1)n1=3 , тогда, .

При , уравнение не имеет решение

, уравнение не имеет решение

, уравнение не имеет решение

Итак, получили , что 62<12. Используя эту оценку , получаем следующие случаи:

n1

3

3

3

3

3



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap