Исследовательская работа Математика музыки



МБОУ «Балтасинская гимназия»

Балтасинский район, Республика Татарстан

Исследовательская работа

Математика музыки

Хусаинова Ильгамия, 11 класс,

Научный руководитель:

учитель математики

высшей категории Абитова Р.З.

2013

Содержание

Введение………………………………………………………………………..3-4

1.Теория музыки в историческом развитии…………………………………..4-7

2.Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной

гамме…………………………………………………………………………7-9

3.Логарифм и восприятьие звука……………………………………………9-11

4.Логарифмы и равномерная темперация………………………………….11-14



5. Проектная работа………………………………………………………… 15-18

Заключение………………………………………………………………………18

Список литературы……………………………………………………………….19

Введение

«Музыка есть таинственная арифметика души: она вычисляет сама того не сознавая»

Готфрид Лейбниц.

Слушая музыку, я попадаю в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаюсь в строгое пространство чисел. И до недавних пор не задумывалась о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. Работая над данной темой, я обратила внимание на то, что связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.

Цель работы: проанализировать связь между математикой и музыкой, рассмотреть применение совершенных консонансов в произведениях Л.В.Бетховена «Adieu», «The glory of god in nature».

Гипотеза: приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам

Задачи:

Изучить теоретический материал по математике, истории и теории музыки.

Показать связь логарифмов с музыкой.

Найти процентное соотношение частоты использования совершенных консонансов в тактах и общего числа тактов в произведении Л.В.Бетховена «Adieu», также количество кварт, квинт, октав в каждом такте произведения Л.В.Бетховена «The glory of god in nature» и узнать, какой процент они составляют из общего числа интервалов.

Объект исследования: произведения Л.В.Бетховена «Adieu» и «The glory of god in nature».

Предмет исследования: процентное соотношение частоты использования совершенных консонансов в тактах и общего числа тактов в произведении Л.В.Бетховена «Adieu» и процентное соотношение частоты использования совершенных консонансов в интервалах в произведении «The glory of god in nature».

Методы:

— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

— исследовательский метод при определении совершенных консонансов в произведениях Л.В.Бетховена «Adieu», «The glory of god in nature».

— практический метод при вычислении процентного соотношения частоты использования совершенных консонансов.

Результаты исследований могут найти практическое применение при изучении музыкальной грамоты, на занятиях игры на фортепиано, сольфеджио в школе искусств; на уроках музыки, математики, на факультативных и кружковых занятиях в школе.

Теория музыки в историческом развитии

У истоков современной музыки стоял древнегреческий ученый Пифагор, он был первым, кто в математических терминах описал, что такое ноты, а также приятные и неприятные звуку созвучия

Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент – монохорд. Пифагор установил, что две струны дают приятные для слуха совместное звучание (в музыке такое звучание называют консонансом), когда из длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4. Конкретно это означает, что если взять 4 струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание дает интервал, называемый октавой). Длина третьей струны будет относиться к длине первой как 2:3 (получим интервал квинту), и отношение второй к первой равно 3:4, что определяет еще один интервал – кварту. На рисунке 1 показаны отрезки, соответствующие длинам струн великого тетраксисатак называли греки четверку чисел, лежащих в основе их теории музыки (рис1.)

l1

l4

l3

l2

1

Рисунок 1. Длины струн великого тетраксиса.

Получить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной 6 и 12 (то есть в отношении 1:2), они нашли их среднее арифметическое ((6+12)/2=9), а среднее гармоническое дало равенство (6-а)/(а-12)=6/12, то есть а=8. Но отношение 9:12 = 3:4 дает кварту (вторая струна на рисунке 1), а отношение 8:12=2:3 – квинту (третья струна на рисунке 1). Таким образом, длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6, 8, 9, 12.

Можно заметить, что или . От последнего равенства можно перейти к музыкальной пропорции: (здесь фактически речь идет о делении октавы на кварту и квинту, которые, как видно, не равны по длине) [3]. Если мы поделим октаву на два равных интервала? Но тогда согласно музыкальной пропорции получим:

и, следовательно, .

Пифагорейцы числа не знали! Это число нельзя получить как отношение двух целых чисел, оно не выражается обыкновенной дробью. Вопрос оказался очень упорен в своей неразрешимости и с музыкальной точки зрения, поскольку при соотношении длин струн 1: в музыке получался не консонанс, а неприятный звук, просто шум.

Доводя свою теорию до логического конца, пифагорейцы не могли не заметить одной весьма неприятной для них логической неувязки: длины струн определенно существуют (сами–то струны можно просто потрогать), но числа, которым выражалось бы отношение этих длин, они указать не могут. Для них это число не существовало! Во-первых, таких чисел тогда просто не знали, а во-вторых, всю свою философию они строили на целых числах и их отношениях. Получалось, что приятное звучание, то есть консонанс, можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за «шум», не находилось. Но шум-то тоже существует! Как явление мирового устройства вещей он должен быть математически определен. Существование несоизмеримостей, то есть того, что сейчас мы называем иррациональным числом, они обнаружили в экспериментах с длинами струн. Архит Тарентский, которого считают последним великим пифагорейцем, снял покров таинственности с несоизмеримых отрезков, доказав, что их длины можно выразить отношением целых чисел, хотя и не совсем верно, но с такой точностью, которая требуется для практики. В математике Архит развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Он указал способ вычисления квадратного корня из числа, не являющегося полным квадратом. Архит считается самым крупным теоретиком музыки античности. Он обосновал важный закон музыкальных созвучий, показал, что приятное для слуха звучание струн кроется в высоте тона (или в частоте колебания струны). Частота колебания струны обратно пропорциональна ее длине [4].

Основные математические пропорции

в пифагорейской музыкальной гамме

В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита.

Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.

Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, то есть , где a – коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим [2].

Для того чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс – шкала частот звуков гаммы, а ось ординат – шкала соответствующих длин струн. Пусть начало координат – звук «до», длина струны – 1, его частота также равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны – ½. Возьмем квинту «до-соль». Отношение частот -3/2 (отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего). «До-фа» кварта – 4/3. Если взять отношение частот «до1» к «соль», получим , то есть данный интервал также является квартой. Получаем, что «сумма» квинты и кварты равна октаве (рис.2).

Математика и литература исследовательская работа

Рисунок 2. Зависимость частот звуков гаммы от длины струн.

Найдем теперь частотный интервал между звуками «фа» и «соль». Для этого поделим частоту последующей ноты на частоту предыдущей, то есть . Число 9/8 выражает так называемый тон-интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Например, если мы хотим узнать частоту звука «ми» по частоте звука «ре», то должны выполнить умножение . Точно так же от «соль» можно перейти к «ля» — , а от «ля» — к «си» , поскольку эти пары звуков отличаются друг от друга на целый тон. Но вот звуки «ми» и «фа», «си» и «до1» различаются на полутон (рисунок 2). Для того чтобы показать, как это выражается математически, поделим частоту звука «фа» на частоту звука «ми»: . Итак, полутон выражается дробью . В самом деле при переходе от «си» и «до1» имеем:. Естественно ожидать, что в одном тоне-интервале содержится два равных полутона. Проверим, так ли это. Если представить полутон и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это выражается равенством , то есть . На самом же деле полутон выражается дробью . Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон и его значением, вытекающим из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Как видим, расхождение небольшое. В реальности имеем 1,053, а гипотетически 1,061. Эта неточность получила название пифагоровой коммы. Она свидетельствует о несовершенстве пифагоровой теории музыки, поскольку не давала возможности точно настроить инструменты. Тот факт, что два полутона «не укладывались» в целый тон, улавливался чутким ухом музыканта.

Логарифм и восприятие звука

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действа. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику.

Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, голоса. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, начнем с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. Одна из частей уха называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части уха действительно напоминает улитку. Она представляет собой спирально-закрученную трубку, образованную из 2,5 витка. Контур «улитки» среднего уха можно соотнести с логарифмической спиралью в математике. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. В логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. На рисунке 3 видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом (рис.3).

Математика и литература исследовательская работа

Рисунок 3. Логарифмическая спираль

В 1846 физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. В 1860 году ученый Фехнер подверг закон Вебера математической обработке, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения:

, где S-ощущение, J0 – первоначальное раздражение, J – последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности. Например, при увеличении силы звука в 100, 1000 и т. д. раз ощущение увеличивается в 2, 3 и т. д. раз (при k = 1) [5].

Логарифмы и равномерная темперация

На протяжении многих столетий пифагорова комма античной гаммы не давала покоя композиторам и музыкантам. Ее распределение в музыкальной гамме было неравномерно и затрудняло модуляции (перевод мелодии из тональности в тональность). Изобретались разные музыкальные системы, которые пытались решить эту проблему. Нужен был особый подход, который должен был быть математически точным и музыкально приемлемым.

В начале 18 века, когда уже сложилась алгебра иррациональных величин, наметились пути решения этой старой многотрудной проблемы. Работы немецких музыкантов Веркмайстера и Нейгарда дали начало ее решению и привели впоследствии к созданию 12-звукового равномерно темперированного строя. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов: «до1»-«до-диез»; «до-диез»-«ре» и т. д.

Математика и литература исследовательская работа Определим теперь зависимость между частотами звуков строя. Пусть х – величина, показывающая, во сколько раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому их 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Получаем уравнение 1: х12 = 1:2, х12 = 2, х = = 1,05947. Полученное число называется коэффициентом темперированного строя. С его помощью можно найти частоты каждого звука музыкальной гаммы. Как правило, музыканты настраивают свои инструменты по звучащему «ля» — 440 гц. Зная частоту звука «ля» и используя k = , можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440 * = 440 *1,059 = 466,16 гц, а «соль-диез» — 440: = 415,30 гц. В таблице 1 приведены все частоты звуков первой октавы. Почему именно эти частоты положены в основу равномерно темперированного строя? (Таблица1).

Таблица 1. Частоты звуков первой октавы и их логарифмы.



Составим новую таблицу. Запишем логарифмы частот звуков равномерно темперированной гаммы по основанию 2, а также логарифмы по основанию 2 частот соответствующих интервалов гаммы, то есть от звука «до» до данного звука. В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:, на втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез» (малая секунда), на третьем месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«ре», на пятом – отношение частот звуков «до» — «ми» (большая терция): .

Удобнее не искать каждый раз логарифмы отношений частот, а использовать свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить логарифм интервала кварта («до»-«фа»), достаточно найти разность 8,448-8,031 = 0,417.

Возьмем некоторый отрезок. Разделим его на 12 равных частей, получим шкалу с шагом (рисунок 4).

Математика и литература исследовательская работа

Рисунок 4. Шкала интервалов.

Внизу отметим значения логарифмов отношений частот. Заметим, что разность между логарифмом интервала, то есть числом , и длиной отрезка, равной , где k = 0, 1, 2,…,12 весьма мала. В этом можно убедиться, например, по модулю разности, соответствующей звуку «ре»:

.

Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные , которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон [6].

Использование логарифмической шкалы дает возможность равномерно распределить пифагорову комму по всему строю. Если разделить ее на 12 равных частей и распределить между 12 квинтами этого строя, то каждая квинта уменьшится на 1/108 тона (1/9 : 12). Это совсем незаметно на слух и вполне приемлемо для музыкальных созвучий.

С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них октава — ,

квинта – , кварта – ,секста – ,

терция – , секунда – ,септима – .

Была придумана еще более мелкая единица – цент, равный одной сотой темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение цента используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов. Если принять в качестве стандартной высоты основного тона музыкальной настройки частоту звука «ля» 440 гц, то частоту любого другого тона можно выразить так:

в октавах ,в полутонах ,в центах

Из этих формул следует, что , , . Данные формулы полезны тем, что с их помощью по частоте одного звука можно находить частоту другого звука [7].

Проектная работа

Пифагор очень тщательно изучал консонансы, стоило ли оно того… действительно ли консонансы играют такую важную роль в музыке. Я заинтересовалась, насколько консонансы важны для музыки. Исследуя произведение «Adieu» Л.В.Бетховена на процентное соотношение использования совершенных консонансов в тактах и общего числа тактов заметила, что из 60 тактов только 2 не содержат ни кварты, ни квинты, ни октавы, т.е. 96,6% тактов содержат совершенные консонансы. А что более удивительно, они в большей степени находятся в начале такта и часто используются в аккордах. Вызвало неподдельный интерес то, что аккорды в основном состоят из октавы, а некоторые из них поделены на кварту и квинту. (Таблица 2).

Исследуя произведение Л.В.Бетховена «The glory of god in nature» сосчитала количество кварт , квинт , октав в каждом такте и узнала, что из 414 интервалов октава составляет 35%, квинта составляет21,5 %, кварта составляет 14%, а другие интервалы составляют 29,5% из общего числа интервалов, то есть 70,5% тактов содержат совершенные консонансы.

Выводы:

1. Математика и музыка исторически и внутренне взаимосвязаны.

2. Математические пропорции устанавливают зависимость между длинами звучащих струн, его частотами.

3. В музыкальной системе звуки связаны между собой определенными зависимостями, деление октавы на 12 частей обеспечивает чистое звучание. Музыкальный звукоряд содержит 7 октав.

4. Логарифмы и в музыке находят свое применение.

5. Консонансы в музыке играют важную роль.

Заключение

Рассмотрев математическую теорию музыки, я глубже поняла и разобралась в том, что приятные для слуха созвучья подчиняются простым математическим законам, математическая точность музыки всегда была и остается ее неотъемлемым свойством. Изучив соответствующую литературу, я познакомилась с историей и формированием математической теории музыки.

Математика неизбежно диктует музыке свои законы, как относительно нотной записи, так и относительно построения. Но центральной фигурой композиции все равно выступает человек, его переживания, настроения, которые предсказать математически очень сложно.

Список литературы

Зильберковит М. Мир музыки. М., 1998.

А. И. Азевич. Двадцать уроков гармонии. М., 1998.

Волошинов А. В. Пифагор. М., 1992.

Гарднер М. Путешествие во времени. М., 2001.

Волошинов А. В. Математика и искусство. М., 1990.

Интернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki.

Интернет ресурс: Letopisi.ru Проект «Музыкальная математика».

Тростников В. И. Алгебра гармонии. М., 1999.

Теория современной композиции. Музыка, 2005.










sitemap
sitemap