Исследовательская работа Люди не одобряют отрицательных чисел Развитие понятия числа



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Барсовская средняя общеобразовательная школа № 1»

Исследовательская работа

тема: «Люди не одобряют отрицательных чисел…

(Развитие понятия числа)».

Автор работы:

Менер Полина, 8Б

МБОУ «Барсовская СОШ№1»

Руководитель:

Юмагужина Эльвира Мирхатовна,

учитель

п. Барсово 2013г.

Содержание:

1.Аннотация. Введение. Стр.3

2.Число как основное понятие математики. Стр.4

3. Становление отрицательных чисел. Стр.4

4. Отрицательные числа в Древней Азии. Стр.6

5. Развитие идеи отрицательного количества в Европе. Стр.6

6. Отрицательные числа в нашей жизни. Стр.8

7. Анализ работы. Результаты исследования. Выводы. Стр.9

8. Приложение. Стр.10

Аннотация.

Мы знаем, что вся жизнь человека построена на числах, они окружают нас везде и повседневно. В данной исследовательской работе мы рассмотрим вводимые понятия числа, как исторически развивалось отношение и принятие известными математиками отрицательных чисел, где в привычной жизненной обстановки, не замечая люди встречаются с ними, и рассмотрим преимущество и недостатки продуктов после заморозки.

Введение.

Актуальность. Данная тема в п. Барсово еще не изучалась, поэтому мы подготовили работу, направленную на изучение и историческое принятие отрицательных чисел в математике. Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности.

Как и в глубокой древности, так и по сегодняшний день мы – люди не можем обойтись в нашей каждодневной суете без столь маленьких и порой привычных для нас чисел. Наша жизнь упростилась с появлением чисел. Но люди с годами, по степени развития цивилизации и ее усложнения, не могли обойтись только одними натуральными числами.

Мы решили изучить понятие числа, историю развития и принятия отрицательных чисел известными математиками. Как с натуральными числами, так и с отрицательными, мы сталкиваемся в повседневной жизни, их изучаем в школьном курсе, но понимание математических действий с этими числами у школьников так и не складываются. Поэтому мы решили исследовать знания математических действий с отрицательными числами учащихся 8класса и 10класса, так ли тяжело у учеников проходит восприятие этих чисел.

Цель. Сопоставить несколько определений понятия «числа» известными математиками, изучить, где и когда начинали использовать отрицательные числа, рассмотреть привычные жизненные ситуации с отрицательными числами и преимущества и недостатки замороженных продуктов.

Задачи.

Сравнить различные точки зрения понятия «числа»

Изучить мировое историческое становление отрицательного числа.

Рассмотреть восприятие и понимание школьниками математических действий с отрицательными числами и их отношение к ним.

Рассмотреть привычные жизненные ситуации с отрицательными числами.

Привести преимущества и недостатки замороженных продуктов.

Гипотеза. Отрицательные числа и их математические действия с ними в настоящее время воспринимаются учащимися так же неодобрительно, как и в начальной стадии развития этих чисел.

Предмет исследования. Отношение к отрицательным числам.

Объект исследования. Отрицательные числа.

Методы исследования.

Изучение истории принятия известными математиками отрицательных чисел.

Анализ знаний об отрицательных числах в современном мире.

Обработка результата.

Представление исследовательской работы.

Число как основное понятие математики.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».



Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Становление отрицательных чисел.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата, но западнее они не прижились.

Знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно. В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами — в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).

(–) (–) = (+),(–) (+) = (–).

Термин «лейпсис», используемый Диофантом для отрицательного числа, дословно означает «нехватка», «отсутствие», в то время как термин «гюпарксис» (положительное число) значит «существование», «достояние», «имущество»: получается, что отрицательное – то, чего в «имуществе» не хватает; это, возможно, связано с трактовкой отрицательного числа как задолженности.

Диофант жил в III в. н. э., а в Китае отрицательные числа использовались уже во II в. до н. э., а может быть, и раньше. Возникли они в связи с решением систем линейных уравнений, которым посвящена VIII книга трактата «Математика в девяти книгах» (его окончательная редакция которого относится ко II в. до н. э.). При сложении и вычитании уравнений для исключения неизвестных коэффициенты при тех или иных неизвестных нередко становились отрицательными. Китайцы выполняли преобразования этих систем уравнений на счетной доске, при этом числа выкладывали палочками. Для отрицательных чисел использовались палочки другого цвета или другой формы, чем для положительных (при записи для этого использовали другие чернила или же числа отмечались косой чертой). Отрицательные числа назывались «фу», а положительные – «чжэн». Существовали правила арифметических действий с числами «фу». Вначале эти числа, видимо, понимались как удобная фикция, которая позволяет применять один и тот же алгоритм вычитания уравнений друг из друга, не заботясь при этом о знаках коэффициентов. Впоследствии отрицательные числа стали интерпретироваться как задолженность, недостача.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Отрицательные числа в Древней Азии.

В арабской математике отрицательные числа почти не нашли применения. В одном тесте математик Абу-л-Вафа (X в.) рассматривает умножение –2 на 10. Для отрицательного числа он использует слово «дайн» (долг): число –2 называется «долг два», а –20 – «долг двадцать». Позже некоторые европейские математики, например, Леонардо Пизанский (Фибоначчи, XIII в.), тоже будет использовать для отрицательных чисел термин «долг» (лат. debitum). Самаркандский математик XV в. Али Кушчи, бывший послом Улугбека при китайском императоре, «перевел» на арабский китайские термины «чжэн» и «фу» как «мусбат» и «манфи»; эти «мусбат» и «манфи» европейские математики, познакомившиеся с сочинением Али Кушчи благодаря византийцам, передали словами positivus и negativus (положительный и отрицательный), а также, иногда, affirmativus и privativus (утвердительный и «отнимательный»).

Положительные количества в китайской математике называли “чен”, отрицательные – “фу”; их изображали разными цветами: “чен” — красным, “фу” — черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: “ имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму”.

Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними и, как мы видели, применял их при рассмотрении квадратных уравнений. Магавира (IX в.) не только обсуждал два значения квадратного корня – положительное и отрицательное, но и ставил вопрос о возможности извлечения корня из отрицательного числа. При этом он пришел к отрицательному выводу: «Квадрат положительного или отрицательного – числа положительные… Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня». Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были связаны проблемы. Обсуждая двойное значение корня, Бхаскара (XII в.) писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел».

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, “nullus” по латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.

Развитие идеи отрицательного количества в Европе.

В Европе в XII веке нашей эры появились отрицательные числа, их называли “ложными” в отличие от положительных чисел – «истинных».

Широко использовать отрицательные числа, выполнять действия с ними, строить координатную прямую стали благодаря работам французского математика Рене Декарта.

Также в Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « — » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.

Хотя многие европейские математики эпохи Возрождения так или иначе пользовались отрицательными числами, их считали «ложными», «фиктивными», «мнимыми». Но, тем не менее, идея отрицательных чисел постепенно завоевывала умы и, главное, оказалась весьма полезной. Так, благодаря им удалось свести методы решений квадратных уравнений к одному случаю. В Индии это впервые произвел, как мы видели, еще Брахмагупта в VII в.; в Европе же это произошло в XVI в. в сочинении М. Штифеля «Полная арифметика», сведшего все квадратные уравнения к одному виду: в современных обозначениях, x2 = ax + b. При этом Штифель систематически изложил теорию операций с отрицательными числами. По поводу этих чисел он пишет: «Ты видишь, конечно, что все это с первого взгляда очень похоже на самый пустой вздор, и, однако же, выполненные в соответствии с этим алгебраические действия приводят к выражениям поистине удовлетворительным… Итак, подобно тому, как мы представляем себе различные числовые корни у чисел, не имеющих таких корней (т. е. иррациональные числа), и это представление оказывается в высшей степени полезным для математики, так же не без пользы представляем себе и число ниже 0, то есть ниже, чем ничего».

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли, переоткрывший сочинение Диофанта. Бомбелли не только установил правила обращения с отрицательными числами, но и выдвинул идею использования квадратных корней из отрицательных чисел – это были бы особые числа (сейчас мы называем их комплексными числами), не положительные и не отрицательные, но при этом, как было показано, очень полезные для математики, в том числе для решения многих конкретных задач, связанных с действительными числами. Введение комплексных чисел также позволяет «унифицировать» множество различных случаев. Например, удобно считать, что любое квадратное уравнение всегда имеет решение: уравнения, дискриминант которых отрицателен и которые поэтому не имеют действительных корней, имеют, тем не менее, два комплексных, поскольку в множестве комплексных чисел всегда можно извлечь квадратный корень, даже из отрицательного числа.

Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта [1].

Некоторые математики все же пытались, подражая древним, строить науку без отрицательных количеств. Среди этих «консерваторов» был и Ф. Виет, открывший и обосновавший (на уравнениях степеней от второй до пятой) замечательный факт, ныне называемый теоремой Виета.

Сам Декарт, называя отрицательные числа (например, корни уравнения) «ложными», все же именовал и положительные, и отрицательные числа «действительными» (reelles).

Все же некоторые свойства отрицательных чисел долго оставались неясными, особенно отношения порядка (больше-меньше). Например, удивляло, что в пропорции

1/(–1) = (–1)/1

слева первый член больше второго, а справа меньше: получалось как будто бы, что большее отношение равно меньшему (это недоумение высказывал, в частности, А. Арно, друг Б. Паскаля и автор книги «Логика, или Искусство мыслить»). Споры о том, что же все таки представляют собой отрицательные числа, как обосновать правило знаков, по какому праву можно переносить правила арифметических действий с положительными числами на числа отрицательные, продолжались и в XVII, и в XVIII вв., что, однако, не мешало использованию этих чисел. Так, математик и философ д’Аламбер писал в середине XVIII в. в «Энциклопедии»: «Правила алгебраических действий с отрицательными количествами в общем приняты всеми и считаются точными независимо от того, что подразумевается под этими количествами».

Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел.

Вот почему с большим трудом завоевывали себе место в математике отрицательные числа.

Отрицательные числа в нашей жизни.

Если вы посмотрите на градусник, который измеряет температура воздуха на улице, то увидите, что на его шкале есть отметка «0»,а ниже этой отметки располагаются числа со знаком «-» (минус). Вот об этих числах со знаком «минус» мы и поговорим. Эти числа называются отрицательными числами.

Необходимость в таких числах возникла давно. В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 3000 рублей и покупаете товар на 1000 рублей, то у вас остается 3000 – 1000 = 2000 рублей. Но если вы имеете 3000 рублей и покупаете товар на 5000 рублей, то у вас образуется долг 2000 рублей. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 3000 – 5000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, – 2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей.

Более современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на вашем счету было 200 рублей, а вы «наговорили» на 300 рублей, то на вашем счету образуется отрицательный баланс -100 рублей (минус 100 рублей). Это значит, что теперь телефонной компании вы должны 100 рублей.

Вот еще пример показывающий, что такое отрицательные числа. Возьмем многоэтажный дом, в котором есть верхние этажи, а так же имеются нижние этажи, которые расположены ниже уровня поверхности земли. В этом многоэтажном доме есть лифт, который перемещается как по верхним, так и по нижним этажам. Если лифт направляется на верхние этажи, то мы можем сказать, что мы находимся на +2, +3, +10 этаже. Если мы направляем лифт на этажи, которые располагаются ниже поверхности земли, то мы говорим, что находимся на -1, -2, -6 этажах.

Тоже самое можно сказать и об уровне моря. Если мы находимся на поверхности моря или океана и двигаемся вверх от поверхности, то мы говорим что мы находимся на высоте 100, 200, 1000 метров над уровнем моря. Но если мы погружаемся вглубь моря или океана, то здесь используются отрицательные числа, а именно -100, -300, -1000 метров, ниже поверхности.

Таким образом, можно сказать, что знак «минус» или «плюс» указывает на то, где располагается число относительно принятой точки отсчета, а именно «0» (ноль).

Первый контакт и изучение отрицательных чисел в системе образования изучаются в школе, и поэтому нами в школе было проведено анкетирование «Отношение и понимание отрицательных чисел» и тестирование «Вычисления с отрицательными числами» в 8 классе и в 10классе (17человек с класса). [2], [3]. Результаты исследования двух классов приведены в выводе.

 Анализ работы. Мы изучили ответы на предложенные вопросы:

1. Рассмотрели различные точки зрения понятия «числа»

2. Изучили историческое становление отрицательных чисел и их восприятие известными математиками в своих работах.

3. Привели примеры привычных жизненных ситуаций с отрицательными числами.

4. Провели анкетирование и тестирование школьников 8 и 10классов на их восприятие, понимание математических действий с отрицательными числами и их отношение к ним.

Результаты исследований.

1. Изучили становление отрицательных чисел с исторической точки зрения.

2. Выполнили презентацию, отражающую итог нашей работы.

3. Научились искать нужную информацию во всемирной сети Интернет.

4. Получили следующие результаты анкетирования:

Вопросы

8класс

10 класс

1) Одобряете ли вы отрицательные числа?

да

нет

да

нет

ответы

8ч (47%)

9ч (53%)

9ч(53%)

8ч(47%)

2) Понимаете ли вы математические действия с отрицательными числами?

да

нет

да

нет

ответы

12ч(71%)

5ч(29%)

14ч(82%)

3ч(18%)

3) Не пугаю ли вас вычисление с отрицательными числами?

Да

нет

да

нет

ответы

7ч(41%)

10ч(59%)

4ч(24%)

13ч(76%)

4) Были ли у вас проблемы с пониманием отрицательных чисел?

да

нет

да

нет

ответы

8ч(47%)

9ч(53%)



9ч(53%)

8ч(47%)

5) Тяжело ли вам давалось вычисление с отрицательными числами на начальном этапе их изучения?

да

нет

да

нет

ответы

8ч(47%)

9ч(53%)

7ч(41%)

10ч(59%)

Результаты тестирования

8класс

10класс

Справилось с вычислением

67%

72%

Не справились с вычислениями

33%

28%

Выводы:

Исторические сведения о восприятии и использовании отрицательных чисел расширило наш кругозор.

Приобрели опыт грамотного оформления презентации.

Провели анкетирование и тестирование в 8классе и 10 классе.

Выяснили современное восприятие и понимание математических действий учащимися отрицательного числа.

Интернет-ресурсы:

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/

http://subscribe.ru/archive/job.education.apscis.math/

http://ucheba.dlldat.com/download/

Приложение:

Рис. 1. [1]Представление отрицательных чисел как лежащих по другую сторону от нуля

Анкета [2]

1) Одобряете ли вы отрицательные числа?

a) Да; б) Нет

2) Понимаете ли вы математические действия с отрицательными числами?

а) Да; б) Нет

3) Не пугаю ли вас вычисление с отрицательными числами?



а) Да; б) Нет

4) Были ли у вас проблемы с пониманием отрицательных чисел?

а) Да; б) Нет

5) Тяжело ли вам довелось вычисление с отрицательными числами на начальном этапе их изучения?

а) Да; б) Нет

Тест [3]

1) -24 + (-50) =

2) 15 — (-205) =

3) — 128 : 2 =

4) 55 * (-15) =

5) — 3 + (-56) * 32 : (-5) =








sitemap
sitemap