Исследовательская работа Дни рождения вероятность



Республиканская научно-практическая конференция

«Шаги в науку – 2012»

Секция: математика

Исследовательская работа

Тема: Дни рождения

Автор: Назипова Рузиля Рафиковна, Соснинская СОШ, 8 класс

Научный руководитель: Нуриева Гузель Фархатовна, учитель математики, II квалификационная категория

2012

Содержание

Введение………………………………………………..…………………3

Случайные события………………………………………………………5

Вероятность события…………………………………………………….7

Свойства вероятностей…………………………………………………..9

Частота события…………………………………………………………10

Заключение………………………………………………………………13

Список литературы……………………………………………………..14

Приложения……………………………………………………………..10



Введение

Однажды я наткнулась на интереснейшую статью из рубрики занимательная математика, которая подтолкнула взглянут на окружающий мир другими глазами.

«Что такое здравый смысл? Это то, что мы считаем истиной. Что такое математика? Математика ─ это точная наука. А может ли математика и здравый смысл, вступить в противоречия? Оказывается, это происходит очень часто. Если здравый смысл находит подтверждение в жизни, то никакого доказательства нам не надо, а если мы докажем какое-то утверждение, что противоречит здравому смыслу, то тут же найдем подтверждение этому в жизни, и это нас несомненно удивит.

Возьмем обычную среднюю школу, где, допустим, есть 20 классов по 24 человека. Как Вы думайте, в скольких классах найдутся по два школьника имеющие одинаковые даты рождения, без учета года? Дадим другую формулировку вопроса: какова вероятность того, что в классе из 24 человек найдутся хотя два школьника, имеющие одинаковые даты рождения, без учета года? Здравый смысл нам подсказывает, что эта вероятность очень мала. Кто-то скажет 10%, кто-то 20%. На самом деле в большинстве случаев такие школьники найдутся.

Давайте найдем эту вероятность более точно. Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, равна 364/365, поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают. Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей равна 362/365 и т.д. Дойдя до 24 участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, у нас получилось 23 дроби, которые мы должны перемножить, чтобы получить общую вероятность несовпадения дней рождения. Сократив числитель и знаменатель, мы получим 23/50. Т.е. 46% — это вероятность того, что среди 24 человек НЕ будут совпадать дни рождения и 54% — что будут – а это больше половины. В средней школе будет примерно 11 классов, в которых найдутся два человека с одинаковыми днями рождения. Попробуете теперь сами вычислить вероятность того, что из 50 человек в группе найдутся двое с одинаковыми днями рождения (без учета года). Ответ Вас просто поразит!»

Прочитав эту статью, задумалась, неужели математика не дает правильную оценку к реальным ситуациям. И решила проводить исследования на примере нашей школы. А также научиться вычислять вероятность событий.



Случайные события

Случайные события окружают нас всюду в жизни. Выходя на улицу, мы неожиданно встречаем знакомого, которого не видели много лет. Случай! А может закономерность? Многие читатели помнят историю из «Мастера и Маргариты» Булгакова. Там Берлиоз попал под трамвай совершенно случайно с точки зрения обычного человека. Но Воланд задолго предвидел его гибель, так как знал закономерности, сокрытые от простых смертных.

Аналогичный вопрос можно поставить по отношению к любому случайному событию. Является ли оно действительно случайными или определяются неизвестными нам закономерностями? Оставим обсуждение этого вопроса философии. Для нас ясно, что имеют место разнообразные события, причины которых плохо изучены или вообще неизвестны (а может быть, просто отсутствуют?). Такие события мы можем рассматривать только как случайные и при их изучении исходить из результатов теории вероятностей и статистики.

Случайное событие (или просто событие) является основным понятием теории вероятностей. При проведении некоторого эксперимента каждый конкретный исход опыта можно рассматривать как событие. В частности, в процессе измерений получение данного конкретного числа является событием. Введем некоторые связанные с событием вспомогательные понятия.

Полная группа событий – это совокупность всех событий, которые могут иметь место в данном эксперименте. Полная группа может включать бесконечное число событий, а также быть конечным.

События называются несовместными в данном эксперименте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Так, при проведении одного измерения несовместным является получение различных значений измеряемой величины. Два несовместных события, образующие полную группу, называются взаимно дополнительными.

Несколько событий в данном опыте являются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое.

Вероятность события

Основной задачей теории вероятностей является оценка степени возможности осуществления того или иного события. Эта степень возможности количественно описывается некоторым числом, называемым вероятностью данного события в рассматриваемом эксперименте. Наиболее просто вероятность определяется в том случае, когда полная группа событий может быть представлена как совокупность n равновозможных случаев, а рассматриваемое событие А заключается в осуществлении одного из m этих случаев. Тогда вероятность этого события Ρ (А) может быть найдена по формуле

(1)

Так как по определению , то для любого события А

(2)

Если число n равновозможных случаев конечно, то при Р(А) =0 m = 0, а при Ρ (А) = 1 т = п. Иначе говоря, при конечном n событие с нулевой вероятностью не может произойти, т. е. является невозможным, а событие с вероятностью единица происходит всегда и является достоверным.

Определение вероятности по формуле (1) осуществимо лишь тогда, когда полная группа результатов эксперимента может сводиться к некоторому числу равновозможных случаев. В подавляющем большинстве опытов это сделать нельзя, и формула (1) теряет смысл. Однако при этом продолжают пользоваться понятием вероятности Р(А), рассматривая ее как некоторую характеристику возможности осуществления рассматриваемого события A, удовлетворяющую следующим условиям:

— с увеличением возможности осуществления события А возрастает его вероятность Р(А);

— величина Ρ (А) всегда удовлетворяет неравенству(2);

— при представлении полной группы событий в виде совокупности равновозможных случаев вероятность определяется по формуле (1).

Таким образом, вероятность следует рассматривать как некоторую численную характеристику возможности осуществления случайного события, являющуюся основным понятием теории вероятностей, таким же как расстояние, время и масса в механике. Это понятие раскрывается своими свойствами, которые вводятся аксиоматически или по определению. В случае представления полной группы событий в виде совокупности равновозможных случаев эти свойства непосредственно следуют из выражения (1).

Свойства вероятностей

1. Сложение вероятностей. Рассмотрим некоторые несовместные события Α1, А2, …, Ak. Событие, заключающееся в осуществлении одного из них, мы будем называть их суммой и обозначать через Вероятность этой суммы определяется равенством

(3)

При пользовании равенством (3) следует обратить внимание на несовместность рассматриваемых событий. Если это условие не выполняется, то равенство (3) оказывается несправедливым.

Пусть события А и взаимно дополнительны, т. е. несовместны, и их сумма представляет событие, вероятность которого равна единице. Тогда равенства (3) принимает вид

(4)

2. Произведение вероятностей. Вероятность одновременного осуществления событий А и В (т. е. так называемого произведения АВ этих событий) равна произведению вероятности Р(А) события А на вероятность Р(В/А) события В при условии, что событие А имело место, т. е.

(5)

Остановимся несколько подробнее на так называемой условной вероятности Р(В/А). Введение этого понятия предполагает, что осуществление события А меняет условия, при которых осуществляется событие В, так, что при этом изменяется его вероятность. В этом случае говорят, что события А и В зависимы.

Если вероятность события В не зависит от осуществления события А, эти события называются независимыми. При этом Р(В/А) = Р(В) и формула (5) принимает вид (6)

Частота (статистическая вероятность) события

Итак, случайное событие и его вероятность представляют собой основные понятия теории вероятностей. Аксиоматически, определив первичные свойства этих понятий, можно построить соответствующую математическую теорию. В настоящее время принята предложенная А.Н.Колмогоровым система аксиом, на основе которой строится современная математическая теория вероятностей, представляющая собой хорошо развитый, достаточно сложный и изящный раздел математики. Она позволяет по значениям вероятностей некоторых исходных событий определять вероятности других связанных с ними событий. Можно всю жизнь заниматься этой наукой, не интересуясь физическим смыслом ее основных понятий. Однако для того, чтобы применить ее на практике, необходимо ответить по крайней мере на следующие два вопроса:

каким образом определяются значения вероятностей исходных событий?

какой практический смысл имеют величины получаемых в результате вероятностей?

В случае применимости схемы равновозможных случаев ответ на эти вопросы дает формула (1). Однако в подавляющем большинстве прикладных задач эта схема неприменима. В этих условиях для ответа на указанные вопросы используется понятие частоты (статистической частоты, статистической вероятности) события. Последнее вводится следующим образом. Предположим, что мы многократно и при одинаковых условиях провели некоторый эксперимент, при котором можно ожидать появления события А. Исход эксперимента, в результате которого событие А действительно имело место, мы будем называть благоприятным. Тогда частотой события А в данной серии экспериментов будем называть величину

(7)

где ν – общее число экспериментов,

μ – число экспериментов с благоприятным исходом.

Результаты определения частоты (А) до различным сериям экспериментов, вообще говоря, различны. При малом числе ν разброс этих величин может быть значительным. Однако по мере увеличения ν этот разброс постепенно уменьшается и величина (А) приближается к некоторому среднему значению. События, обладающие этим свойством, называются статистически устойчивыми. Для анализа таких событий может быть использована теория вероятностей. События, не обладающие этим свойством, называются неопределенными и теорией вероятностей не рассматриваются.

Для многих статистически устойчивых событий их частота определяется экспериментально. При этом в качестве величины вероятности Р(А) рассматриваемого события А принимается его частота (Α), найденная по достаточно большому числу экспериментов (это число выбирается в зависимости от требуемой точности и надежности знания величины вероятности). В этом случае между вероятностью и частотой события существует такое же соотношение, как между истинным и измеренным значениями некоторой физической величины. Возможность подобного рассмотрения подтверждается следующими соображениями:

Многочисленные эксперименты показали существование разнообразных статистически устойчивых событий.

Экспериментально показано, что для событий, соответствующих схеме равновозможных случаев, частота (А) по мере увеличения числа ν экспериментов приближается к определяемому по формуле (1) значению вероятности Ρ (А).

Определяемая по формуле (7) частота подчиняется аксиомам теории вероятностей.

Используя понятия частоты и вероятности попытаемся ответить на вопрос «Каков вероятность совпадения дней рождений учащихся одного класса?».

При изучении учащихся некоторого класса, если нас интересует только совпадение дней рождений, то полная группа является конечной и включает лишь два события: есть учащиеся, у которых дни рождения совпадают (событие А), или у всех разные дни рождения (событие ). Эти два события взаимно дополнительные и будем считать их равновозможными. Поэтому выполняется равенство (4).

Введем обозначения: k ─ число учащихся в классе, l ─ количество дней в году (365 дней, не будем рассматривать високосный год). Если k 1, то P(A) = 0; если k > 365, то P(A) = 1. В остальных случаях воспользуемся формулой (4).

P(A)=1-P(

Используя формулы (6) и (1) вероятность найдем следующим образом:

P()== .

Частоту события А найдем по формуле (7).

Учащиеся в Соснинском СОШ 2011-2012 году

Класс

k

P(

P(A)

1

6

0,9595

0,0405

2

11

0,859

0,141

3

14

0,777

0,223

4

11

0,859

0,141

5

12

0,833

0,167

6

14

0,777

0,223

7

18

0,653

0,347

8

20

0,5886

0,4114

9

9

0,905

0,094

10

13

0,8056

0,1944

11

6

0,9595

0,0405

Среднее значение

12

0,184

0,167

В трех классах из одиннадцати есть учащиеся у которых дни рождения совпадают, частота события А:

Данные об учащихся поступившие в 1980-1999годах

Год поступления

k

P(

P(A)

1980

16

0,716

0,284

1981

13

0,8056

0,1944

1981

8

0,9257

0,0743

1982

13

0,8056

0,1944

1983

12

0,833

0,167

1984

5

0,973

0,027

1985

7

0,944

0,056



1986

16

0,716

0,284

1987

17

0,685

0,315

1988

11

0,859

0,141

1989

14

0,777

0,223

1990

12

0,833

0,167

1991

13

0,8056

0,1944

1992

20

0,5886

0,4114

1993

14

0,777

0,223

1994

11

0,859

0,141

1995

21



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap