Иследовательская работа Теория вероятности



Теория вероятности. Основные понятия и определения.

Исследовательская работа по математике

Выполнила: ученица 9А класса

Талипова Алина

Руководитель: учитель математики

Жеребцова Л.У.

г.Нефтекамск 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 5

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ 6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9

ЛИТЕРАТУРА 11

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Она имеет длительную историю. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. В современном мире автоматизации производства теория вероятности необходима специалистам для решения задач, связанных с выявлением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы (например, ОТК: сколько бракованных изделий будет изготовлено). Для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Как наука теория вероятности зародилась в 17 веке в переписке Б.Паскаля и П.Ферма, где они производили анализ азартных игр. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

Так, оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа 1/6.

Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота события «выпадения герба» незначительно отличалась от 1/2 для наглядности рассмотрим таблицу результатов, полученных в 18 веке французским естествоиспытателем Жоржем Луи Леклерк Бюффоном (1707 – 1788) и в начале 20 века – английским статистиком Карлом Пирсоном (1857 – 1936).

экспериментатор

число бросаний

Число выпадений

герба

частота

Ж. Бюффон

4040

2048

0,5080

К. Пирсон

12000

6014

0,5016

К. Пирсон

24000

12012

0,5006

Строгое логическое обоснование теории вероятностей связано с именами русских математиков: П.Л. Чебышева (1821-1894), его учеников А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А. Маркова (1856-1922) . В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым (1903-1987). В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Событие — явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. События обозначаются большими латинскими буквами A, B, C,…

ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.

Определим события:

А {выпадение шестерки};

В {выпало число очков, кратное 2};

С {выпало более 3 очков}.

События делятся на достоверные, невозможные и случайные.

Под случайным событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или не происходит.

Достоверным назовем событие, которое обязательно произойдет при выполнении определенного количества условий.

Невозможным назовем событие, которое не происходит при выполнении

определенного количества условий.

Примеры:

Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают черный шар.

При бросании игральной кости выпала цифра 7.

При телефонном вызове абонент оказался занят.

Вы вытащили черный шар.

Если возможные исходы (результаты) опыта являются событиями несовместными, достоверными, то каждый из результатов испытания назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает — назовем благоприятствующими этому событию исходами.

Исторически первым определением понятия вероятности является то определение, которое в настоящее время принято называть классическим:

Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n.

Обозначение:

Свойства:

1. 0<Р(А)< 1

2. Для достоверного события m=n и P(А)=1.

3. Для невозможного события m=0 и P(А)=0.

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ»

В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение:

Количество всех возможных результатов n=3+9=12.

Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=3.

Ответ: 0,25

На тарелке лежат одинаковые на вид блинчики: 3 с творогом, 5 с мясом и 4 с икрой и яйцами. Лена наугад выбирает один блинчик. Найдите вероятность того, что он окажется с творогом.

Решение:

Всего в тарелке лежит 3+5+4=12 блинчиков, из них 3 – с творогом. Вероятность того, что выбранный блинчик окажется с творогом, равна 3/12=1/4=0,25.

Ответ: 0,25

Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка?

Решение:

Количество всех возможных результатов n=6 (все грани).

а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1:

б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1:

Ответ: 1/6 и 1/6

В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?

Решение:

Всего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2.

Ответ: 0,2

Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события: А- выпадет одновременно два герба?

Решение:

Возможные результаты опыта: ГГ,ГР,РГ,РР

Таким образом, всего возможных результатов n=4, нас интересующий результат возможен только один раз m=1, поэтому

Ответ: 0,25

Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра?

Решение:

Всего цифр 10, значит n=10

Забыта лишь 1 цифра, значит m=1, тогда

Ответ: 0,1

Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»?

Решение:

n – количество букв в слове, а m — количество нужной нам буквы «м».

Ответ: 0,2

Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зелёной?

Решение:

У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта: n=6

Для нахождения m нужно посчитать грани кубика, интересующего нас цвета, т.е. m=3

Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зеленой будет равна:

Ответ: 0,5

В пенале лежат несколько не отличающихся внешне друг от друга простых карандашей: 8 твёрдых, 12 мягких и 5 твёрдо-мягких. Марина наудачу выбирает один карандаш из пенала. Определите вероятность того, что выбранный карандаш будет твёрдым.

Решение:

Всего в пенале 8+12+5=25 карандашей, из них 8 – твёрдых. Вероятность того, что выбранный карандаш будет твёрдым, равна 8:25=0,32.

Ответ: 0,32

Из города А в город В можно добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом?

Решение:

По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, что пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6

Ответ: 1/6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно. Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

ЛИТЕРАТУРА

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. — Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004.- 246 с.

Энциклопедия для детей. Т.11. математика / глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2001. – 688 с.

ГИА– 2012:Экзамен в новой форме: Математика: 9-й кл.: Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, Л.О. Рослова и др. – М.: АСТ: Астрель, 2012. – 90, [6] c.: ил. – (Федеральный институт педагогических измерений).

Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2012: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.- Ростов-на-Дону: Лнгион-М, 2011. – 272с. – ГИА

Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н.В. Шевелева, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин. – М. : Национальное образование, 2011. – 144 с. : ил. – (Краткий курс).

Практикум 5-9 класс. Вероятность и статистика. Учебный диск ©. – 1CD. – М.: ООО «Дрофа», 2003

Математика 5-11 класс. 1С Практикум. Учебный диск. 2006



sitemap
sitemap