Информационно-коммуникационные технологии — средство обучения математике в основной шко



Муниципальный этап конкурса «Учитель года России – 2011»

Методическая разработка

ТЕМА:

Информационно-коммуникационные технологии – средство обучения математике в основной школе (на примере изучения функций)

Выполнил:

Вершинин Евгений Васильевич, учитель математики муниципального образовательного учреждения основной общеобразовательной школы №14 г. Рыбинска

Научный руководитель:

Мурина Ирина Николаевна, доцент кафедры ТиМОМ ГОУ ВПО «ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, кандидат педагогических наук

Рыбинск

2010

Содержание

Введение3

Глава 1: Дидактические аспекты компьютерного обучения6

§1. Структура учебной деятельности при компьютерном обучении6

Глава 2. Практическое применение ИКТ в обучении математике основной школы.11

§1. Технологии организации обучения школьников математике с использованием ИКТ11

§2. Применение ИКТ при обучении математике (изучение функций)29

Заключение32

Библиографический список33

Приложения38

Приложение 1 «Исторический путь развития понятия «функция»38

Приложение 2. Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе.44

Приложение 3. Фрагмент урока «Вычисление значений функции по формуле»56

Приложение 4. Фрагмент урока «Вычисление значений функции по формуле (контроль знаний)»57

Приложение 5. Фрагмент урока «Алгоритм построения графика квадратичной функции»58

Введение

Современный период развития цивилизованного общества называют этапом информатизации. Характерной чертой этого периода является тот факт, что доминирующим видом деятельности в сфере общественного производства, повышающим его эффективность и наукоёмкость, становится сбор, обработка, продуцирование, хранение, передача и использование информации, осуществляемые на базе современных информационных технологий.

Одним из главных направлений процесса информатизации современного общества становится информатизация образования, обеспечивающая широкое внедрение в практику психолого-педагогических разработок, направленных на интенсификацию процесса обучения, реализацию идей развивающего обучения, совершенствование форм и методов организации учебного процесса, обеспечивающих переход от механического усвоения фактологических знаний к овладению умением самостоятельно приобретать новые знания. Применение в образовании компьютеров и информационных технологий оказывает существенное влияние на содержание, методы и организацию учебного процесса по различным дисциплинам. В конце 90-х годов в образование входят мультимедийные компьютеры, такие программные продукты, как компьютерные энциклопедии, электронные книги, справочники по литературе, живописи, музыке. Это создает возможности гуманитаризации образования. С развитием мультимедийных технологий компьютер становится средством обучения, способным наглядно представлять самую различную информацию. Как следствие, происходит развитие творческого потенциала обучаемого, способностей к коммуникативным действиям, навыков экспериментально-исследовательской работы; культуры учебной деятельности; интенсификация учебно-воспитательного процесса, повышение его эффективности и качества. Существуют  различные возможности использования компьютеров в школе:

Организация учебного процесса (подготовка расписания, электронных документов, баз данных по школьникам, учителям, родителям и т.д.);

Подготовка учебных пособий.

Обучение пользователей ПК  для решения прикладных задач, обучения основам программирования,  дизайна, компьютерному моделированию.

Компьютерное обучение основам наук с помощью специально  разработанных программ. Недостатки – игнорирование принципа доступности.

Компьютерный контроль знаний учащихся. Главный недостаток – несоответствие предъявляемых  ученику требований  уровню его подготовки.  Это может создать «ситуацию неуспеха» и снизить мотивацию к учению.

Использование компьютера  для получения и работы с информацией из сети Интернет.

Учитель в информационном обществе перестает выступать перед своими учениками в качестве источника первичной информации. Он превращается в посредника, который облегчает ее получение. Фундаментальной характеристикой развития  человеческой цивилизации является  получение, накопление, обработка и потребление информации. В информатизированном обществе без овладения начальной компьютерной грамотностью  и умения использовать, компьютерные средства для решения  определенных задач, немыслима реализация творческого потенциала человека в современной науке, культуре, производстве, деловых и иных сферах жизни.  Современное общество характеризуется, с одной стороны, нестабильностью, быстрой изменчивостью и трудной предсказуемостью, с другой, все большей «открытостью», взаимопроникновением накопленных знаний и опыта. 

Цель данной работы – обосновать необходимость применения информационно-коммуникационных технологий в обучении математике как одного из перспективных средств обучения, направленного на повышение результата.

Задачами данной работы являются:

Изучение литературы по проблемам компьютеризации. Выявление ведущих тенденций, которые на данный момент могут рассматриваться в качестве принципиальных основ компьютерного обучения.

Изучение структуры учебной деятельности при компьютеризации обучения

Изучение существующих компьютерных программных средств педагогического назначения.

Изучение методик использования компьютеров на уроке

Выявление возможных вариантов комплексного использования ПК в конкретных сферах педагогической деятельности.

В применении  новых информационных технологий в своей работе я выделяю следующие пути:

Компьютер как средство для обучения математике, как инструмент поддержки предметных уроков и других видов занятий.

Использование компьютера для выполнения учебных задач, и для реализации различных видов деятельности.

Компьютер как средство развития ребенка.

Глава 1: Дидактические аспекты компьютерного обучения

§1. Структура учебной деятельности при компьютерном обучении

В отечественной педагогике учение рассматривается как процесс, главными компонентами которого являются знания и действия. Такое понимание процесса учения восходит еще к Я. А. Каменскому, который определил знания частично как чувственные представления, а главным образом — как понятия и их системы, описывающие объекты и явления в их общих внешних свойствах, связях, и объясняющие их сущность. И. Ф. Гербарт учение считал первой ступенью, следом за которым шло развитие, совершенствование общих познавательных процессов. Под учением, как и многие основатели психологии и педагогики, Л. С. Выготский понимал приобретение знаний, умений и навыков, а под развитием — приобретение общих качеств и способностей. Определение деятельности наиболее четко дал И. И. Ильясов: «Деятельность — обозначение процессов взаимодействия человека и общества с объектами действительности». Процесс учения рассматривался как процесс управления деятельностью, компонентами которого являются объекты воздействия, акты его преобразования, а также продукт, условия и средства преобразования. П. Я. Гальперин ввел теорию поэтапного формирования умственных действий. Предметом усвоения в процессе обучения при этом считается действие. Знания включаются во все компоненты действия. В. В. Давыдов трактует учение как овладение способами перехода от всеобщих отношений к их конкретизации и обратно , от модели к объекту и обратно. Детализация структуры и состава знания и действия позволяет учесть все приведенные компоненты в содержании учебной программы, повышая тем самым эффективность компьютерного обучения.

Основным в процессе обучения перечисленные теоретики считают усвоение знаний. Процесс усвоения знаний, согласно положениям Н. Ф. Талызиной и П. Я. Гальперина, осуществляется в шесть этапов: 1)  мотивация ; 2)  уяснение схемы ориентировочной основы действия; 3)  выполнение действия в материализованной форме (т.е. действия с объектами, представленными в виде знаков, схем, моделей); 4)  выполнение действия в громкой речи; 5)  выполнение действия в речи про себя; 6)  выполнение действия в умственной форме (оперируя образами и понятиями, без участия внешних знаков и форм).

Суммируя наиболее известные, кратко описанные выше теории, можно выделить следующие виды (этапы) деятельности, связанные с усвоением учебной информации при компьютерном обучении.

1. Эмпирическая деятельность как этап восприятия — отражение фона, заполняющего поле экрана дисплея; — концентрация внимания и отражение отдельных единичных объектов на фоне; — отражение выделенных единичных объектов и конкретной ситуации; — отражение конкретной ситуации в целом.

2. Эвристическая деятельность по распознаванию ситуации: — абстрагирование от конкретности, в которой представлена ситуация, создание знаковой модели; — поиск алгоритма преобразования модели для решения поставленной задачи, привлечение имеющихся знаний.

3. Репродуктивная деятельность по преобразованию модели и получению нового знания

— преобразование модели по избранному алгоритму;

— интерпретация результатов преобразования, оценка адекватности полученной модели имеющимся у обучаемого знаниям;

— оценка адекватности решения поставленной задаче.

Практическая деятельность, связанная с отработкой навыка: — закрепление умения в привычных ситуациях; — формирование умения в необычных ситуациях; — формирование ассоциативных умений в необычных ситуациях.

Последний вид (этап) практической деятельности относится к воспитанию стратега, который для решения данной конкретной задачи будет использовать весь арсенал имеющихся знаний и умений, искать похожие ситуации, т.е. ассоциации.

Все виды деятельности, независимо от конкретного содержания, включают следующие компоненты:

потребности и мотивы,

задачи,

действия,

операции.

Особенности компьютера как инструмента человеческой деятельности, заключаются в обеспечении доступа к большим объемам информации и ее переработке, усилении познавательно-исследовательских возможностей человека, организации обмена информацией по содержанию выполняемой деятельности и создании новой человеко-машинной коммуникативной системы. Компонентами учебной деятельности при компьютерном обучении являются:

постановка учебной задачи,

система учебных действий,

моделирование содержания объектов усвоения,

преобразование модели,

действия самооценки и контроля.

Учебную задачу ставит учитель. Поскольку компьютер не способен на эмоции, при постановке задачи, разъяснении методов ее решения и контроля путей решения учащегося, необходимо особое внимание уделять мотивации, имея, наряду с традиционным учебным планом (или сценарием программы) мотивационный план. Тактика мотивации, состоящая в подбадривании, похвале, вызове на соревнование и т.п., увязывается с решениями, создающими условия для стимуляции учебы. При компьютерном обучении необходимо определять мотивационное состояние обучаемого, реагировать с целью мотивации на действия рассеянных, менее уверенных или недовольных учащихся, а также поддерживать тонус уже мотивированных обучаемых. Структура мотивационной основы деятельности обучаемого отражает перечисленные компоненты учебной деятельности, представляя их как этапы обучения.

На первом — сосредоточении внимания на учебной ситуации — необходимо дать обучаемому информацию об актуальности и практической значимости темы, заинтересовать, развить стремление к получению нового знания.

На втором — конкретизировать вопросы, помогающие овладению способами рациональной учебной деятельности, развивающие теоретическое мышление.

На третьем этапе — выборе решения — необходимо создать индивидуальную установку на данную деятельность.

На четвертом последнем этапе, когда обучаемый нуждается в оценке и корректировке действий, ему необходимо предоставить возможность выбора вида помощи, выдавать эту помощь в доброжелательной форме, выдавать, в случае затруднений, дополнительные задачи, алгоритмические предписания по их решению и мотивационные указания.

Исследование показало, что наиболее эффективной формой компьютерного обучения является «учитель-компьютер-группа учащихся». Эффективна совместная деятельность, осуществляемая в педагогике сотрудничества. При использовании компьютера как средства обучения можно выделить следующие типы задач: уже имеющиеся дидактические задачи, в которых повышается эффективность их решения за счет использования справочных и экспертных систем в обучении; организация контроля и тренировки при сохранении традиционной формы обучения; новые дидактические задачи, например, имитация эксперимента; моделирование содержания объектов усвоения.

Итак компьютерное обучение – это обучение с использованием персонального компьютера или его элементов (проектор, доска, Интернет и т.д.). В зависимости от цели компьютерного обучения, выбираются те или иные технические средства. Можно полностью отказаться от учителя или тьютора и самостоятельно проходить обучение (дистанционное обучение), если нет возможности приходить в образовательное учреждение, но при этом должен учителем разрабатываться учебный курс который будет реализовываться, причем достигая хороший результат.

Глава 2. Практическое применение ИКТ в обучении математике основной школы.

§1. Технологии организации обучения школьников математике с использованием ИКТ

Роль информационно-коммуникационных технологий в общеобразовательном процессе  определена  в документах Правительства РФ, Министерства образования РФ, относящихся к стратегии модернизации образования. Информационно-коммуникативная компетентность —  один из основных приоритетов в целях общего образования, и связано это не только с внутриобразовательными причинами. Меняется весь характер жизни, необыкновенно возрастает роль информационной деятельности, а внутри нее — активной, самостоятельной обработки информации человеком, принятия им принципиально новых решений в непредвиденных ситуациях с использованием технологических средств.

Системное, эффективное формирование информационно-коммуникативной компетенции для основной массы  учащихся сегодня возможно только  при условии использования ИКТ. Успешность намеченных в школе преобразований во многом зависит от  их применения. Другими словами, информатизация — это важнейшее направление модернизации системы образования.

Компьютерные технологии обучения  — совокупность методов, приемов, способов, средств создания педагогических условий на основе компьютерной техники, средств телекоммуникационной связи и интерактивного программного продукта, моделирующих часть функций педагога по представлению, передаче и сбору информации, организации контроля и управления познавательной деятельностью.

Применение компьютерных технологий обучения позволяет видоизменять весь процесс преподавания, реализовывать модель личностно-ориентированного обучения, интенсифицировать занятия, а главное — совершенствовать самоподготовку обучающихся. Безусловно, современный компьютер и интерактивное  программно-методическое обеспечение требуют изменения формы общения преподавателя и обучающегося, превращая обучение в деловое сотрудничество, а это усиливает мотивацию обучения, приводит к необходимости поиска новых моделей занятий, проведения итогового контроля (доклады, отчеты, публичные защиты групповых проектных работ), повышает индивидуальность и интенсивность обучения.

Компьютерные технологии обучения предоставляют большие возможности в развитии творчества, как учителя, так и учащихся.

Мультимедиа технологии — способ подготовки электронных документов, включающих визуальные и аудиоэффекты, мультипрограммирование различных ситуаций. Применение мультимедиа технологий открывает перспективное направление развития современных компьютерных технологий обучения. Как использовать эти средства  при разработке комплексов учебно-методических материалов? Где и в каком соотношении возможно включение различных мультимедиа эффектов по сравнению с обычным текстом? Где граница применимости мультимедиа вставок в документ? Нужны серьезные исследования этого вопроса, поскольку нарушение гармонии, меры целесообразности применения ярких вставок и эффектов может привести к снижению работоспособности, повышению утомляемости обучающихся, снижению эффективности работы. Это серьезные вопросы, ответы на которые позволят избежать фейерверка в обучении, сделать учебно-методический материал не просто эффектным, а эффективным. Для этого необходимо, чтобы были разработаны специальные прикладные программы (тренажеры) на разные уровни сложности и на различные стадии обучения.

Современные информационно-коммуникационные  технологии обучения — совокупность современной компьютерной техники, средств телекоммуникационной связи, инструментальных программных средств, обеспечивающих интерактивное программно-методическое сопровождение современных технологий обучения.

Основными задачами современных информационных технологий обучения являются разработка интерактивных сред управления процессом познавательной деятельности, доступа к современным информационно- образовательным ресурсам (мультимедиа учебникам, различным базам данных, обучающим сайтам  и другим источникам).

Информационные технологии, наиболее часто применяемые в учебном процессе, можно разделить на две группы:

1) сетевые технологии, использующие локальные сети и глобальную сеть Internet  (электронные варианты методических рекомендаций, пособий, серверы дистанционного обучения, обеспечивающие интерактивную связь с учащимися через Internet, в том числе в режиме реального времени);

2) технологии, ориентированные на локальные компьютеры (обучающие программы, компьютерные модели реальных процессов, демонстрационные программы, электронные задачники, контролирующие программы, дидактические материалы).

Еще задолго до появления информатики, как школьного предмета, преподавание математики имело своей целью выработку навыков в использовании простейших вычислительных алгоритмов, реализуемых «вручную», а также навыков в логическом мышлении, необходимом для работы с более сложными алгоритмами. Школьный курс математики содержит обширный материал, дающий возможность формировать, изучать, применять алгоритмы, и тем самым дает возможность для осуществления тесной межпредметной связи между математикой и информатикой.

В обучении математике должен получать свое отражение характерный для нашего времени процесс информатизации математики, внедрение новейших компьютерных технологий, Интернет и дистанционного обучения (дистанционное обучение способствует восстановлению пробелов знаний при отсутствии на уроке по различным причинам). Подрастающему поколению необходимо научиться жить и работать в качественно новой информационной среде, адекватно воспринимать её реалии и научиться пользоваться ею.

Формы и место использования компьютеров на уроке, конечно, зависит от содержания этого урока, цели, которую ставит учитель. Каковы же функции и особенности применения образовательных программ? Можно выделить следующие функции:

инструментальная (изготовление наглядных пособий);

демонстрирующая (показ готовых демонстрационных программ, слайдов,    презентаций и т.д.)

обучающая (тренажеры);

контролирующая.

Возможны различные виды уроков с применением информационных технологий: уроки-беседы с использованием компьютера как наглядного средства; уроки постановки и проведения исследований; уроки практической работы; уроки-зачеты; интегрированные уроки и т.д.

Практика моей работы показывает, что наиболее эффективно использование компьютера на уроках математики:

при проведении устного счёта (возможность оперативно предъявлять задания и корректировать результаты их выполнения);

при изучении нового материала (иллюстрирование разнообразными наглядными средствами; мотивация введения нового понятия; моделирование);

при проверке фронтальных самостоятельных работ (быстрый контроль результатов);

при решении задач обучающего характера (выполнение рисунков, составление плана работы; отработка определенных навыков и умений);

при организации исследовательской деятельности учащихся;

при интегрировании предметов естественно-математического цикла.

Выгодные особенности работы с компьютерной поддержкой на уроке:

учащийся становится субъектом обучения, ибо программа требует от него активного управления;

легко достигается уровневая дифференциация обучения (индивидуализация обучения);

достигается оптимальный темп работы ученика, так как каждый ученик выполняет индивидуальное задание, работая в своем темпе;

сокращается время при выработке технических навыков учащихся;

увеличивается количество тренировочных заданий;

отслеживаются ошибки, допущенные учеником, и повторно отрабатывается недостаточно усвоенный материал;

работа ученика оценивается сразу;

учитель меньше тратит времени на проверку работ;

обучение можно обеспечить материалами из удалённых баз данных, пользуясь средствами телекоммуникаций;

при работе с компьютером присутствует элемент игры, так иногда недостающий на уроках; и у большинства детей повышается мотивация учебной деятельности.

Есть необходимость в применении компьютера на уроках математики более широко, чем используется на данный момент. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты школьной математики, а значит, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету, а значит и к лучшему, более внимательному отношению к нему. Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования. Применение компьютера в обучении математике предполагает передачу ему работы с нормативными знаниями, а работу с творческими знаниями оставить преподавателю совместно с обучаемыми.

§2. Методика изучения функций в основной школе

Различные подходы к определению понятия функции.

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике — основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

— представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

— представление о функции как о соответствии;

— построение и использование графиков функций, исследование функций;

— вычисление значений функций, определенных различными

способами.

В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к формированию прикладных умений и навыков.

Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.

Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.

Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения.

Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.

В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой.

Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

— упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое

истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

— глубокое изучение отдельных функций и их классов;

— расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую — необходимый методический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции — формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 — при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого типа — изменения формы представления:

а) Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].

б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35; 2,44; 9,4; 7; 6,25.

в) На рисунке изображены точки на координатной плоскости, выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.

Построить график зависимости давления от времени в промежутке 12≤t≤18, соединив эти точки плавной линией.

Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции (задание а)). Поэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция). В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — с понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.

Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:

“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Рассмотрим примеры.”

Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.



Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.

Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так,

если a = 3, то S = 32 = 9;

если a = 15, то S = 152 = 225;

если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой

S = a2

(по смыслу задачи a > 0).

Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:

“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, зависимой переменной”.

П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток.

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 t 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,

если t = 6, то p = 2;

если t = 12, то p = 2;

если t = 17, то p = 3;

Здесь t является независимой переменной, а p зависимой переменной.

Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m соответствующая стоимость проезда в рублях):

По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, …, 9, можно найти соответствующее значение m. Так,

если n = 2, то m = 1.5;

если n = 6, то m = 4 ;

если n = 9, то m = 8.5;

В этом случае n является независимой переменной, а m зависимой переменной.”

Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым они уже сталкивались с этим ранее.

Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.

“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”

Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:

1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap