Различные способы устных вычислений



Введение.

Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше, чем разгадок,

и поискам предела нет!

Л. Татьяничева.

Актуальность темы.

В наше время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. Но существуют такие способы устных вычислений, которые выдают ответы моментально и не уступят никакому компьютеру.

Большой успех имеют на эстраде выступления счетчиков, которые удивляют зрителей своей высокой техникой счета и феноменальной памятью.

Все мы, конечно, понимаем, что это всего лишь фокус, основанный на свойствах чисел или на каких- либо математических законах. А на каких именно, хочется знать?

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве.

Рассказывают, что в трех летнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель подложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101 х 50 = 5050. Интересно, как он быстро выполнил это задание?

У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина «Устный счет», изображающая занятия устным счетом. Ученики заняты устным решением примера. Они сосредоточены и увлечены работой.

Здесь воспроизведена известная и любимая всеми учителями картина Богданова-Бельского «Устный счет». По поводу этой картины И. К. Андронов пишет так: «Одиннадцать бедных крестьянских учеников старой, досоветской школы с напряжением ищут в уме решение числовой формулы, написанной на доске учителем С. А. Рачинским. Как лучше сгруппировать слагаемые, как быстрее вычислить?

Немного из истории этой картины:

Устному счету уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в свое имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. С.А. Рачинский написал ряд математических пособий. Наибольшую известность среди них приобрела книга «1001 задача для счета в уме».

Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счета:

По-разному думают дети. Кто-то скорее мечтает, чем думает. Кто-то торопится шепнуть учителю свой ответ. Но внимание педагога поглощено одним мальчиком, вся поза которого напоминает охотника, идущего по следу,- столько в ней сдержанной страсти и предчувствия победы. Мальчик, конечно же, догадывается, что сумма квадратов первых трех натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2.

Вспомним, как относились к устному счету ученики С. А. Рачинского. Он писал: «Не успел я приступить к упражнениям в умственном счете, которые до тех пор в школе не практиковались, как к ним развилась настоящая страсть… Стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе с требованием умственных задач… Очень скоро оказалось, что они опережают меня, что мне нужно готовиться, самому упражняться».

На уроках математики учитель часто говорит: «Для выполнения этого громоздкого задания, примените рациональные методы, и тогда пример решается устно».

Все эти моменты и заставили меня изучить хотя бы некоторые методы для выполнения устных вычислений.

Цель.

В своей работе я хочу показать некоторые способы устного счета.

Задачи исследования.

1. Обобщить способы устного счета в школьном курсе и изучить существующие в науке (расширить знания по этому вопросу).

а) Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий, а именно:

Использование свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы.

Использование переместительного и сочетательного свойства сложения и умножения.

Использование распределительного свойства умножения относительно сложению и вычитанию

Использование таблицы квадратов и кубов однозначных чисел и таблицы квадратов двузначных чисел от 10 до 20.

б) Умножение двузначных чисел на 11.

в) Использование формул сокращенного умножения:

(а + b)(a — b) = a² — b²

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

г) Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

д) Умножение чисел на 5 (50), 25 (250).

е) Умножение двузначных чисел близких к 100.

2. Показать практическую значимость каждого метода.

3. Обобщить данное исследование.

Обзор литературы:

Повышение вычислительной культуры учащихся (Пособие для учителя)М. Просвещение 1981г.

А. П. Подашов «Вопросы внеклассной работы по математике в школе». Учпедгиз 1962г.

Д. С. Фаермарк «Задача пришла с картины». М. Просвещение, 1977г.

О. С. Шенина , Г. М. Соловьева «Математика. Занятия школьного кружка.» М.Издательство НЦ ЭНАС 2007.

Журнал «Математика в школе» №2 1981г, Журнал «Математика в школе» №1 1992г.

Познакомившись с материалами по данной теме в указанной литературе, я решила показать в своей работе некоторые методы устных вычислений.

Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах.

а. Использование свойств вычитания суммы из числа и числа из суммы.

а — (в + с) = (а + в) — с.

95837 — (95137 + 198) = (95837 — 95137) – 198 = 700 – 198 = 502.

(а + в) – с = (а — с) + в.

(6112 + 1596) – 496 = 6112 + (1596 — 496) = 6112 + 1100 = 7212.

б. Использование переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения.

а + в + с = (а + в) + с = (а + с) + в = а + (с + в).

385 + 548 + 615 = (385 + 615) + 548 = 1000 + 548 = 1548.

2,31 + 7,65 + 8,69 = (2,31 + 8,69) + 7,65 = 11+7,65 = 18,65.

а х в х с = (ахв)с = а(вхс) = (ахс)в.

483 х2 х 5 = 483 х 10 = 4830.

25 х 86 х 4 = (25 х 4)86 = 860.

1,25 х 75 х 8 = (1,25 х 8)75 = 10 х 75 = 750.

в. Использование распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.

а(в + с)=ав + ас.

1. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

10(12 + 3) = 10 х 12 + 10 х 3 = 120 + 30 = 150,

(4,5 + 0,75)100 = 450 + 75 = 525,

3х 3=(3 +)3 = 9 + 2 = 11.

Вычислите сумму, используя распределительный закон:

289 х 315 + 711 х 315 = 315(289 + 711) = 315 х 1000 = 315000,

14,8 х 36 + 14,8 х 64 = 14,8(36 + 64) = 14,8 х 100 = 1480,

3+=(36 )= х 10 = 6,

— х(- 6,81) + (- 1,19)х(- ) = — х(- 6,81 – 1,19) = — (- 8) = 3,

2. Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

(а – в )с = ас – вс

59 х 7 = (60 – 1)7 = 420 – 7 = 413,

Вычислить разность:

126 х 5 – 96 х 5 = (126 – 96)5 = 30 х 5 = 150,

0,78 х 496,6 – 396,6 х 0,78 = (496,6 – 396,6)0,78 = 100 х 0,78 = 78,

14 х = (14- 3 ) = 3.

Для того чтобы быстро и безошибочно находить значения выражений, необходимо запомнить таблицу квадратов и кубов и, желательно, таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

8

27

64

125

216

343

512

729

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

121

144

169

196

225

256

289

324

361

Умножение двузначных чисел на 11.

При умножении двузначного числа на 11 возможны два случая:

Сумма цифр числа, умножаемого на 11, меньше 10.

Например: 17 х 11 = 17(10 + 1 ) = 170 + 17 = 187,

81 х 11 = 81(10 + 1) = 810 + 81 = 891.

В этом случае надо между цифрами числа вставить их сумму.

17 х 11 = 1(1 + 7)7 = 187,

81 х 11 = 8(8 + 1)1 = 891,

34 х 11 = 3(3 + 4)4 = 374.

Сумма цифр числа, умножаемого на 11, больше или равна 10.

В этом случае надо между цифрами числа вставить количество единиц в сумме цифр данного числа, а первую цифру умножаемого числа увеличить на 1.

28 х 11 = (2 + 1)08 = 308,

2+8,

94 х 11 = (9 + 1)34 = 1034,

9+4,

При использовании этого способа провели соревнование между тремя учениками. Пусть один из них умножает числа на 11 в столбик, другой – на калькуляторе, а третий – применяя изученный прием. Результат, как правило, приводит в восторг: побеждает тот, кто считал устно.

Использование формулы сокращенного умножения.

(а + b)(a — b) =- b для устных вычислений.

71 х 69 = (70 + 1)(70 — 1) = 4900 — 1 = 4899

111 х 89 = (100 + 11)(100 — 11) = 10000 – 121 = 9879

6,6 х 6,4 = (6,5 + 0,1)(6,5 — 0,1) = 42,25 — 0,01 = 42,24

Использование формулы сокращенного умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

21² = (20 + 1) ² = 400 + 40 + 1 = 441

19² = (20 — 1) ² = 400 – 40 + 1 = 400 – 39 = 361

71² = (70 — 1) ² = 4900 – 140 +1 = 4900 – 139 = 4761

9,9² = (10 — 0,1) ²= 100 – 2 + 0,01 = 98,01

(5)² = (6 -)² = 36 – 2 х 6 х + ()² = 33

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

15² = 15 х 15 = 225

25² = 625

35² = 1225

45² = 2025 и т.д.

Итак, чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, надо: отбросив 5, перемножить оставшееся число (десятков) на следующее по порядку число и к результату приписать 25.

55² = 3025 (5 умножаем на 6 и приписываем 25)

75² = 5625 (7 умножаем на 8 и приписываем 25).

Докажем это.

Любое такое число можно представить в виде 10х + 5, где х-общее количество десятков в числе.

(10х + 5) ² = (10х + 5)(10х + 5) =

= 100х² + 50х + 50х + 25 =

= 100х² + 100х + 25=

= 100х(х+1) + 25.

В этом числе х(х + 1) — количество сотен.

Умножение числа на 5, 50, 25, 250.

Чтобы умножить число на 5 (50), надо разделить его на 2 и умножить на 10 (100)

446 х 5 = 446 : 2 х 10 = 2230

347 х 5 = 347 : 2 х 10 = 1735

4672 х 50 = 4672 : 2 х 100 = 233600

831 х 50 = 831 : 2 х 100 = 4155.

Чтобы умножить число на 25 (250), надо разделить его на 4 и умножить на 100 (1000).

88 х 25 = 88 : 4 х 100 = 2200

63 х 25 = 63 : 4 х 100 = 1575

24 х 250 = 24 : 4 х 1000 = 6000

487 х 250 = 487 : 4 х 1000 = 121750.

Умножение чисел, близких к 100.

93 х 95 = 8835

Порядок умножения таков.

93 х 95 = (93 — 5) + 35 = 8835

1.Находим дополнения до 100 к данным числам

100 – 93 = 7

100 – 95 = 5

2.От первого данного числа отнимаем дополнение второго

93 — 5 = 88 – столько будет в произведении сотен.

3.Перемножаем дополнения чисел:

7 х 5 = 35 – столько будет в произведении единиц.

Значит; 93 х 95 = 8835.

Объяснить это нетрудно:

Пусть х – первое число, а – дополнение его до 100,

у – второе число, в – дополнение его до 100.

Тогда х = 100 – а, у = 100 – в, х х у = (100 – а)(100 – в) = (100 – а)100 – 100в + ав = 100х – 100в + ав = ( х – в)х100 + ав.

Правило: Чтобы умножить число х на у, нужно от первого числа (х) отнять дополнение второго числа (в) , эту разность умножить на 100 и прибавить к ней произведение дополнений каждого числа.

Таким образом:

97 х 94 = (97 – 6)100 + 3 х 6 = 9100 + 18 = 9118,

91 х 95 = (91 – 5)100 + 9 х 5 = 8600 + 45 =8645,

94 х 98 = (94 – 2)100 + 6 х 2 = 9200 + 12,

89 х 93 = (89 – 7)100 + 11 х 7 = 8200 + 77 =8277.

Вывод.

Я привела лишь небольшое число правил для устных вычислений. При желании можно пополнить их перечень из приведенной выше литературы.

Систематическое применение приемов устного счета развивает память, внимание, наблюдательность и смекалку, воспитывает самостоятельность, умение ценить и экономить время и способствует более прочному и осознанному усвоению материала, повышает интерес к математике, а поиски и обоснования новых приемов служат формированию логических умений.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap