Проект Топология



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняяобщеобразовательная школа №11

им. И.А. Бурмистрова

г.Ставрополь.

Проект на тему:

«Топология»

Выполнил: ученик 9 «А» класса

Чумаков Денис

Руководитель: учитель математики

Кузнецова Н.Н.

С выражением «топологическое преобразование» я встретился, когда работал над проектами «Графы вокруг нас» и «Лабиринты в нашей жизни». Мне захотелось узнать, что это за преобразование и что вообще такое топология. Интерес возрос ещё больше, когда я узнал, что топология – это часть геометрии, которая утверждает непрерывные преобразования. Оказалось, что с топологией и топологическими преобразованиями мы встречаемся везде: и дома, и в школе, и на улице. Познакомившись ближе с некоторыми определениями и понятиями топологии, я понял, что это удивительнейшая наука, и мне захотелось ещё больше узнать о ней.

Когда вопрос встал о выборе темы проекта, я сразу решил, что мой проект будет именно о топологии. Но топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки проекта и поэтому я взял наиболее интересные (как мне кажется) факты.

Цель работы:

1. Узнать что означает слово топология?

2. Что за наука топология?

3. Чем полезна наука – топология?

4. Какими свойствами обладает топология?

5. Имеет ли будущее топология?

Задачи:

Найти значение слова топология.

Разобрать свойства топологии.

Рассмотреть некоторые из свойств топологии, через доказательство теорем.

Предложить свой вариант доказательства теоремы о четырех красках.

Научиться демонстрировать некоторые из свойств топологии.

Содержание:

Стр.

I Введение.

1.Из истории топологии.

II Основная часть.

1.«Резиновая геометрия».

2.Связанность. Теоремы связанности.

3.Пояс Мёбиуса.

4.Теорема о неподвижной точке.

5.Топологические свойства выпуклых многогранников.

Теорема Эйлера.

6.Теорема о четырёх цветах.

III Заключение.

IV Список литературы.

I Введение.

1.Из истории топологии.

«Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой – нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология».

Д. Гильберт.

Многие считают, что математика – это наука о числах или величинах. Можно привести не один аргумент против этого определения и к числу разделов математики, которые не являются науками о числах и величинах, принадлежит топология. Топология успешно обходится без арифметизации и служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой и вычислениями.

Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики.

Топология даёт важные понятия, которые используются для доказательства некоторых основных предложений – теорем существования. (Теорема существования – это теорема, которая утверждает, что каждая из широкого класса задач имеет решение специального вида).

В настоящее время предложения топологии применяются в различных областях знания – в дифференциальных уравнениях, оптимальных процессах, в космогологии, в теоретической физике, в алгебраической геометрии и теории чисел.

Что же такое топология?

ТОПОЛОГИЯ – это часть геометрии, посвящённая изучению феномена, непрерывности. Разнообразности проявления непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой топологии на ряд отделов, различных по предмету и методу изучения.

ТОПОЛОГИЯ – есть наука о топологических свойствах точечных множеств и функций.

ТОПОЛОГИЯ – это наука, дающая математическую форму интуитивным понятиям, выраженным словами «быть соседним», «мало отличаться», «стремиться к…»

Эти понятия, взятые из разных источников, а все они вместе дают полное определение топологии.

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18-19 веках. К этому периоду принадлежат: теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. Первые сведения по топологии (до 1930 г. она называлась «analytit titut») можно найти в работах Карла Вейерштрасса(60-е годы прошлого века). Он даёт понятия пределу функции и реконструирует систему действительных чисел. Появляются исследования Георга Катора (немецкого математика) по теории точечных множеств (1874-1895годы).

Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками (начало ХХ века).

Второе направление топологии (называемое комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей.

Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый использовал термин «топология») и другими.

С 1930 года топология двигалась более ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни

( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).

Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию.

Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову, А.Н. Колмогорову, Л.С. Понтрягину, П.С. Урысону.

В последние годы успешно работают в этой области математики В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие.

Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала необходимой для многих её областей.

II Основная часть.

1.«Резиновая геометрия».

Геометрические фигуры имеют различные свойства:

а) МЕТРИЧЕСКИЕ – зависят от размеров и формы фигур.

Сохраняются при изотермических преобразованиях (сохранение расстояний, длин линий) или при преобразованиях подобия (неизменные

углы и пропорции частей фигуры).

;;

б) ПРОЕКТИВНЫЕ – (более качественные свойства) прямолинейность или искривлённость, выпуклость или невыпуклость.

Сохраняются при деформациях, не искривляющих прямых линий.

;

в) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ – гладкость или негладкость.

Сохраняются при любых преобразованиях.

;

г) БЛИЗОСТИ – ограниченность или неограниченность.

Сохраняются при любых равномерно-непрерывных преобразованиях.

В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях фигур. Это и есть ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА.

Топологию называют резиновой геометрией. Чтобы это хорошо понять, нужно представить, что некоторая фигура сделана из резины. Её можно растягивать, сжимать, закручивать, но не разрывать и не склеивать.

Например, маленький шарик можно раздуть в большой, потом его можно превратить в эллипс, потом в гантель. Также можно поверхность шара превратить в поверхность куба, тетраэдра, призмы, пирамиды, конуса и т.д.

Но никак нельзя из шара сделать непрерывной деформацией бублик. Аптечную резинку можно представить как окружность, эллипс, многоугольник, любую замкнутую кривую, но при этом резинка не должна разрываться или склеиваться. Разрывание и склеивание не являются топологическими преобразованиями.

;; ; .

Множества, которые можно продеформировать друг в друга без разрывов и склеивания называются топологически эквивалентными. Так как эти множества имеют в точности одни и те же свойства, то тополог считает их одинаковыми, неразличимыми топологически. Тополог – это тот человек, который не видит разности между шаром и призмой, бубликом и кружкой …

Кажется, что может роднить стакан с ложкой, но…

Фигуру можно мять, пропускать через игольное ушко, как угодно искривлять. С точки зрения топологии спелая груша равносильна сухой.

Какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни подвергали мы тела и фигуры, всё – таки есть такие геометрические свойства, которые остаются неизменными.

Все топологические свойства у фигур, которые могут быть топологически преобразованы друг в друга, одинаковы. Для тополога все гомеоморфные фигуры представляют собой одну и ту же фигуру.

С гомеоморфными фигурами мы встречаемся ежедневно и ежечасно. Например, на уроке геометрии учитель изобразил на доске призму:

В тетрадях учеников появляются топологически преобразованные призмы:

Также любые два треугольника топологически эквиваленты; любая окружность эквивалентна любому эллипсу:

И ещё нужно сказать, что как бы ни расплющивать, ни раскатывать ком пластилина, не имеющую толщины, т.е. он сохранит свою размерность. А тот факт, что запрещено разрывать этот ком или склеивать, даёт связность.

Размерность и связность – одни из наиболее фундаментальных свойств геометрических фигур.

2.Связанность. Теоремы связанности.

Связность – это одно из важных топологических свойств замкнутого промежутка.

Дадим определение связного пространства:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пространство, не допускающее никакого разбиения, называется связным.

Разбиением пространства Х называется пара А, В непустых множеств Х, таких, что А U В = Х; А ∩ В = 0 и А, В открыты в Х.

Пусть Х – есть множество в Rn.

Подмножество У (У ﮯ Х) называется открытым множеством в Х, если у каждой точки х € У существует такая её окрестность в Х, которая лежит в У.

Пусть Х – множество в Rn, х – точка множества Х и r – некоторое положительное число. Тогда окрестностью (радиуса r) точки х во множестве Х называется множество всех точек из Х, расстояние которых от х меньше r.

Теперь, когда дали определение связного пространства можно на его основе произвести доказательство двух теорем связности.

Т Е О Р Е М А 1

Замкнутый промежуток является связным множеством.

Доказательство: Пусть У – замкнутый промежуток в R, A – замкнутый промежуток в У, причём А ≠ Ø и А ≠ У.

Чтобы доказать эту теорему, покажем, что А не открыто в У.

Т.к. А ≠ Ø и А ≠ У, то найдутся такие две точки а и в,

что а € А, а в € (У-А). Пусть У – есть промежуток [а, в].

Т.к. А и У замкнутые, то и А ∩ У = Z – тоже замкнуто; т.к. А и У ограниченные, то и А ∩ У = Z – тоже ограничено => множество Z имеет минимум и максимум (m и М – соотв.)

Разберём случай, когда а < в и когда а > в:

а) Если а < в, то m = a и а является левым концом промежутка У; в € А и поэтому точка максимума лежит в промежутке: m = а ≤ М < в => всякая окрестность точки М содержит числа, лежащие между М и в, но эти числа не входят в А => А не открыто.

б) Если а > в, то М = а. И аналогично а найдём какому промежутку принадлежит точка минимума: в < m ≤ а = М => всякая окрестность точки m содержит числа, лежащие между в и m, но эти числа не принадлежат А => А не открыто.

В обоих случаях доказали, что А не открыто и поэтому единственным открытым и замкнутым подмножеством промежутка У является сам промежуток У или 0 => У связан.

Что и требовалось доказать.

Т Е О Р Е М А 2: Если f : XY ( f отображает Х в У) – есть непрерывное отображение и А,В- некоторое разбиение образа 1) f(x), то прообразы 2) А=f –1 (A) и В=f –1(B) образуют разбиение пространства Х.

Если f: X → Y и А ے Х, то образ множества А при отображении f есть множество f(A), которое состоит из значений f(X) € Y для всех Х € А.

Если f : X → Y и В Х, то прообраз множества В при отображении f есть множество f –1(B), состоящее из всех точек х € Х, для которых f(x)€B.

Эту теорему можно сформулировать короче: Если функция f непрерывна и f(X) несвязно, то и Х несвязно.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О: Докажем, что пара А’, В’ удовлетворяет каждому условию определения разбиения, то есть: А’ U В’ =Х; А’UВ’=Ø и А’, В’- открыты.

а). Так как А ≠Ø, то существует у€А. Так как А ےf(Х), то существует точка х € Х, для которой f(x) = у. Тогда х € А’ => А’≠Ø. В’≠Ø – доказано точно так же. Образ любой точки х € Х принадлежит f(X) =A U B так, что f(x) € A или f(x) € B. Тогда х € А’ или х € В’. Это и показывает, что х = А’ U В’. (Одно из условий определения разбиения доказано).

б). Если бы нашлась точка х, общая для А’ и В’, то её образ f(x) принадлежал бы и А, и В, но это невозможно и поэтому А’∩ В’=Ø.

в) Так как А и В открыты в f(x) и отображение f непрерывно, то их прообразы открыты в Х.

Получили, что А’ U В’= Х; А’∩ В’ = Ø; А’, В’ – открыты => пара А’, В’ есть разбиение пространства Х.

Следствие из теоремы:

Если функция f , отображающая Х в У непрерывна и Х связно, то и f(x) связно.

3.Пояс Мёбиуса

Все знают, что поверхность имеет две стороны лицевую и изнаночную, но при более глубоком рассмотрении дела оказывается, что это не всегда так.

Возьмем полоску бумаги и склеим её концы, предварительно перекрутив их.

Д В

Д В

А Д

ВС

С А

В этом случае нельзя отличить лицевую сторону от изнаночной. Они непрерывно переходят друг в друга. Эта поверхность называется поясом Мёбиуса (по имени немецкого математика, который один из первых указал на существование этой поверхности, односторонне расположенной в пространстве). Покрасить у обычного пояса разные стороны разными цветами не вызовет никакого затруднения. Но как быть с поясом Мёбиуса. При непрерывной покраске обе стороны (вернее одна) будут одинаково покрашены. Если двигаться по краю пояса Мёбиуса, то через полный оборот мы окажемся на другом краю пояса и придем с противоположной стороны. Пояс Мёбиуса – это такая « река», у которой один берег служит продолжением другого.

Если обычный пояс разрезать вдоль средней линии, то получится два кольца.

Если разрезать вдоль средней линии пояс Мёбиуса, то мы увидим, что он не распадается на два кольца, а будет одно кольцо, но в два раза длиннее (полученное кольцо имеет двустороннюю поверхность)

А, что, если разрезать пояс Мёбиуса по линии, лежащей недалеко от края . Чтобы придти в начало разреза, нам придется проделать путь вдвое длиннее, чем в случае с разрезанием ленты по средней линии. Как ни странно, получается два сцепленных кольца, причем одно большое и узкое, а другое маленькое и широкое. И что самое интересное: большое кольцо получилось с односторонней поверхностью, а маленькое с двусторонней.

Поверхность пояса Мёбиуса обладает и другими неожиданными свойствами: если, например, обычный пояс имеет две средние линии (лицевую и изнаночную, то пояс Мёбиуса только одну). Свойства пояса Мёбиуса не нарушаются при топологических преобразованиях поверхности в нашем пространстве. Эти свойства являются Т О П О Л О Г И Ч Е С К И М И

4.Теорема о неподвижной точке.

Допустим, что некоторый шар заполнен песком. Если мы встряхнем этот шар, то все песчинки немного изменят свое положение. Но, оказывается, что есть такая песчинка, которая останется неподвижной.

Пусть А – отрезок тонкой резинки. Будем его деформировать как угодно, но без разрывов и склеивания. И в таком деформированном виде заставим его занимать на плоскости то же место, что и раньше (или часть места). Оказывается, что при этом хотя бы одна точка займёт свое первоначальное место.

Эти два примера дают понятие теоремы о неподвижной точке. Теорема носит имя голландского математика Л.Брауэра и причисляется к важнейшим теоремам в математике. Ещё один пример этой теоремы: если круг повернуть вокруг центра на угол 30о, то единственной неподвижной точкой будет центр круга.

30

30

Но если то же отображение рассматривать на окружности, то она не будет иметь неподвижных точек.

Каждое постоянное отображение произвольного пространства в себя имеет одну неподвижную точку. А отображение некоторого множества в себя может иметь, а может и не иметь этой точки.

Определение: Точка х, обладающая свойством, что f(x)=x, называется неподвижной точкой отображения.

ТЕОРЕМА БРАУЭРА: Каждое непрерывное отображение прямолинейного отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О: Введём на прямой, содержащей этот отрезок, координаты так, что отрезок превратится в замкнутый промежуток [a, b].

аb

х

Тогда рассматриваемое отображение будет непрерывной функцией f, отображающей промежуток в себя (f :[a,b]→[a,c]). Определим новую функцию q:[a,b]→R с условием, что q(x)=f(x) –x для x € [a,b] . Таким образом, функция q равна, взятому с определённым знаком, расстоянию между точкой Х и её образом f(x).

Если f(x) > x, то f(x) — x= q > 0, а если f(x) < x, то f(x) – х = q < O. Нам нужно найти неподвижную точку отображения f , т.е. точку в которой q = O или f(x)=x.

а) Если неподвижен какой-нибудь из концов промежутка, то доказывать нечего, т.к. этот конец и будет неподвижной точкой.

б) Допустим, что ни один из концов промежутка не неподвижен. Так как f(a)

и f(b) принадлежат [a,b], то f(a)>a и f(b)0 (f(a) – а = q>0) и q (b) < 0 (f(b) – b = q < 0).

Функция q непрерывна => она принимает все значения между q(a) и q(b). Следовательно, в некоторой точке х € [a, b] функция g(х) = 0. Эта точка и является искомой неподвижной точкой отображения в.

Что и требовалось доказать.



Решим задачу на нахождение непрерывной точки.

ЗАДАЧА: Найти неподвижную точку отображения промежутка [0, 1] в себя, определяемого формулой: b(х) = (1-x2)1/2.

РЕШЕНИЕ: Неподвижная точка отображения промежутка [0, 1] соответствует точке пересечения графика b(х) = (1-х2)1/2 с биссектрисой координатного угла (b(х) = х).

b(x) = (1-x2)1/2 = √1-x2;

b2(x) = 1-x2

b2(x) + x2 = 1 – графиком является окружность в центре начала координат и с радиусом равным единице измерения.

Неподвижная точка получена путем поворота

точки (1; 0) на угол 45◦, вокруг центра

координат. => х = 1/√2 = √2/2

b2(х)+х2=1

b(х)=х

Ответ: х = √2/2.

5.Топологические свойства выпуклых многогранников.

Теорема Эйлера.

Множество разновидностей призм, пирамид, октаэдров и многогранников — всем известные геометрические фигуры.

Кажется, что может быть одинаковым у куба и многогранника, который состоит из самых различных граней: треугольных, четырёхугольных, пятиугольных и т.д. Кажется, что никаких одинаковых свойств у этих фигур нет.

Но…

Но оказывается, что всегда выполняется равенство:

А – В + С = 2,

где А – число вершин, В – число рёбер, С – число граней.

Приведу пример:

У призмы АВСДЕА1В1С1Д1Е1

а) 10 вершин,

15 рёбер,

7 граней.

А – В + С = 10 – 15 + 7 = 2.

Д

б) У тетраэдра АВСД

4 вершины,

6 рёбер,

А С 4 грани.

В Тогда А – В + С = 4 – 6 + 4 = 2.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap