Хитрые задачи на проценты



ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАУЧНО – ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ТВОРЧЕСКОГО И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

И МОЛОДЁЖИ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

IX ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»

Секция: информационные технологии, математика

Тема: ««Хитрые» задачи на проценты»

Автор: Вандяк Анастасия Ивановна

Научный руководитель: Столбова Фаина Витальевна

Место выполнения работы: МАОУ СОШ «Земля родная» г. Новый Уренгой

2012

Содержание

Введение……………………………………………………………………….………………..3

Раздел 1. Методика проведения исследования………………………………….……..…4

Раздел 2. Результаты исследования…………………..……………………….………….13

Раздел 3. Выводы и рекомендации …………………………………………………………….14

Литература………………………………………………………………………….………… 14

Приложение 1…………………………………………………………………………………15

Приложение 2…………………………………………………………………………………16

Введение

Одно из самых замечательных изобретений человечества – проценты. Тема «Проценты» весьма актуальна. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «со ста». Проценты дают возможность легко сравнить между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены и не только в математике.

Очень широко начали использовать проценты ещё в Древнем Риме, но идея процентов возникла много раньше – уже вавилонские ростовщики умели находить проценты (но они считали не «со ста», а «шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями).

Знак % произошел, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно – сtо. В 1685 году в Париже была напечатана книга – «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо сtо набрал %. Вот после этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского «с тысячи») и обозначают ‰.

Идея провести исследование возникла у меня на индивидуально – групповых занятиях «Развитие математических способностей» при решении задачи, аналогичной задаче 11. Мне показалось интересным выяснить, а есть ли ещё задачи, в которых так же на первый взгляд ответ кажется очевидным, но неверным? И после некоторых размышлений такие задачи нашлись. Вероятно, при некотором желании, можно найти ещё ряд таких задач, но я остановилась на выбранных.

Чтобы убедиться в своей правоте, я провела небольшой опрос среди учащихся 6-х, 7-х, 8-х классов МАОУ СОШ «Земля родная» г. Новый Уренгой и среди родителей своих одноклассников, предложив им ряд задач и получила такую картину.

Ответы учащихся

Ответили верно

Ошиблись

Не знаю

Задача 11

10 уч.-ся (25%)

22 уч.-ся (55%)

8 уч.-ся (20%)

Задача 14

12 уч.-ся (30 %)

20 уч.-ся (50%)

8 уч.-ся (20%)

Задача 21

10 уч.-ся (25%)

22 уч.-ся (55%)

8 уч.-ся (20%)

Всего

32 уч.-ся (27%)

64 уч-ся (53%)

24 уч.-ся (20%)

Ответы родителей одноклассников

Ответили верно

Ошиблись

Не знаю

Задача 11

20 чел. (57%)

11 чел. (32%)

4 чел. (11%)

Задача 14

19 чел. (55%)

12 чел. (34%)

4 чел. (11%)

Задача 21

18 чел. (52%)

13 чел. (37%)

4 чел. (11%)

Всего

57 чел. (54%)

36 чел. (35%)

12 чел. (11%)

Итак:

Тема работы: «хитрые» задачи на проценты.

Объект исследования: проценты и итоговое изменение цены товара в «хитрых» задачах

на проценты.

Предмет исследования: зависимость итогового изменения цены от её последовательного повышения или понижения на некоторое число процентов.

Гипотеза исследования: итоговое изменение цена товара не находится простым суммированием.

Цель исследования: установить, как именно находится итоговое изменение цены, если её несколько раз повысить или же несколько раз понизить.

Задачи исследования:

изучить научно-популярную литературу по данной теме;

— рассмотреть решение 28 «хитрых» задач на проценты;

— сравнить и проанализировать полученные результаты;

— оформить результаты в виде таблицы;

— сделать выводы.

Методика проведения исследования

При проведении исследования было рассмотрено решение 28 однотипных задач на проценты, которые я разбила на пять частей, в них я привела и разбор конкретных задач и решение в общем виде. Хочу подчеркнуть, что итоговое изменение цены во всех задачах я нахожу в процентах. Кроме того проанализировав решение и, сравнив полученные ответы, сделала некоторые выводы. Причём в работе рассмотрела для простоты случаи, когда цена товара выражалась круглым числом, что для исследования не существенно, так как далее проводились вычисления в общем виде.

Итак, рассмотрим часть 1.

Часть1, задача 11.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 100 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 100+100:100*10=110(р.)

А так как затем цена понизилась на 10%, то цена стала 110-110:100*10=99(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 1 рубль, то есть на 1 % по сравнению с первоначальной.

Задача 12.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 200 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 200+200:100*10=220(р.)

А так как затем цена понизилась на 10 %, то цена стала 220-220:100*10=198(р.)

А значит, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 2 рубля, но 2 рубля это 1 % от первоначальной цены товара.

Задача 13.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 300 рублей?

Если цена товара увеличилась сначала на 10%, то товар стал стоить 300+300:100*10=330(р.)

А так как затем цена понизилась на 10%, то цена стала 330-330:100*10=297(р.)

И в этой задаче, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась, но на 3 рубля, а это составляет 1 % от первоначальной.

Задача 14.

Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом понизилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 400 рублей?

Если цена товара повысилась сначала на 10%, то товар стал стоить 400+400:100*10=440(р.)

А так как затем цена понизилась на 10%, то цена стала 440-440:100*10=396(р.)

И опять, первоначальная цена уменьшилась, теперь на 4 рубля, то есть на 1 % от первоначальной.

Таким образом, анализируя решение и ответы к этим пяти задачам мы видим, что цена товара, если её вначале повысить на 10%, а потом понизить на 10%, уменьшается в итоге на 1% по сравнению с первоначальной.

Теперь проведем вычисления в общем виде, пусть Х р. — первоначальная цена товара. Тогда Х+Х:100*10= Х+0,1Х=1,1Х (р.)- цена товара после повышения на 10 %.

А 1,1Х -1,1Х:100*10=1,1Х — 0,11Х =0,99Х (р.)- цена товара после понижения на 10 %.

Но Х> 0,99Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,99Х=0,01Х, то есть на 1 %.

Посмотрим, что получится, если цена товара будет меняться на 20%.

Задача 15.

Цена товара сначала повысилась на 20%, а потом понизилась на 20%. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 100 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20%, то товар стал стоить 100+100:100*20=120(р.)

А так как затем цена понизилась на 20%, то цена стала 120-120:100*20=96(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 4 рубля, то есть на 4%.

Задача 16.

Цена товара сначала повысилась на 20 %, а потом понизилась на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 200 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20 %, то товар стал стоить 200+200:100*20=240(р.)

А так как затем цена опустилась на 20 %, то цена стала 240-240:100*20=192(р.)

А это значит, что первоначальная цена уменьшилась на 8 рублей, то есть на 4 %.

Задача 17.

Цена товара сначала повысилась на 20%, а потом понизилась на 20%. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 300 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 20%, то товар стал стоить 300+300:100*20=360(р.)

А так как затем цена опустилась на 20%, то цена стала 360-360:100*20=288(р.)

И в этой задаче, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 12 рублей, т. е. на 4%.

Таким образом, сравнивая решения и ответы уже к этим трём задачам, мы видим, что цена товара, если её вначале повысить, а потом понизить на 20 % уменьшается в итоге на 4 %.

А теперь проведём вычисления в общем виде. Пусть Х р. — первоначальная цена на товар.

Получим Х+Х:100*20= Х+0,2Х=1,2Х (р.)- цена товара после повышения на 20 %.

И 1,2Х -1,2Х:100*20=1,2Х — 0,24Х =0,96Х (р.)- цена товара после понижения на 20 %.

Но Х> 0,96Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,96Х=0,04Х, то есть на 4 %.

Рассмотрим задачу, в которой изменение цены происходит на 30 %

Задача 18.

Цена товара сначала повысилась на 30 %, а потом понизилась на 30 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной, если она была 100 руб.?

Если цена товара повысилась сначала на 30%, то товар стал стоить 100+100:100*30=130(р.)

А так как затем цена опустилась на 30%, то цена стала 130-130:100*30=91(р.)

Итак, мы видим, что первоначальная цена уменьшилась на 9 рублей, то есть на 9 %.

А теперь проведём вычисления в общем виде. Пусть Х р. — первоначальная цена на товар.

Тогда Х+Х:100*30= Х+0,3Х=1,3Х (р.)- цена товара после повышения на 30 %.

А 1,3Х -1,3Х:100*30=1,3Х — 0,39Х =0,91Х (р.)- цена товара после понижения на 30 %.

Но Х> 0,91Х, значит, цена товара понизилась, причем Х-0,91Х=0,09Х, то есть на 9 %.

Эти задачи объединяет то, что цена на некоторый товар вначале повышается, а затем понижается.

Во второй части работы рассмотрим измениться или нет, и если изменится, то как, цена товара если сначала она будет понижаться, а потом повышаться на одно и то же число процентов.

Проведём вычисления сразу в общем виде.

Часть2, задача 21.

Сначала цена на товар понизилась на 10 %, а через год новая цена повысилась на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Пусть Х р.- первоначальная цена товара.

Тогда Х-0,1Х=0,9Х (руб.)- цена после понижения на 10 %.

А 0,9Х+0,1*0,9Х=0,9Х+0,09Х=0,99Х(руб.)-цена после повышения на 10 %.

Но 0,99Х < Х на 0,01Х, то есть цена уменьшилась на 1 %.

Задача 22.

Сначала цена на товар понизилась на 20 %, а через год новая цена повысилась на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Итак Х-0,2Х=0,8Х (руб.)-цена после понижения на 20 %.

А 0,8Х+0,2*0,8Х=0,8Х+0,16Х=0,96Х(руб.) — цена после повышения на 20 %.

И так как 0,96Х < Х, то мы видим, что цена изменилась (уменьшилась) на 4 %.

Задача 23.

Сначала цена на товар понизилась на 30 %, а через год новая цена повысилась на 30 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Х-0,3Х=0,7Х (руб.)

0,7Х+0,3*0,7Х=0,7Х+0,21Х=0,91Х(руб.)

0,91Х < Х на 0,09Х, т. е. цена уменьшилась на 9 %.

Итак, мы видим, что неважно «повысилась-понизилась» или «понизиласьповысилась» цена, результат оказывается одним и тем же, цена товара в итоге уменьшается. Найдём формулу для вычисления изменения цены товара в таких задачах.

А для этого проведём вычисление итогового изменения цены товара в процентах в общем виде.

Пусть Х(р)-первоначальная цена товара, n%-изменение цены, тогда Х+Х:100*n=Х+0,01Хn (руб.)- цена после повышения на n %.

(Х+0,01Хn) –(Х+0,01Хn)*0,01n =Х+0,01Хn-0,01Хn- (0,01n)2 Х=Х-(0,01n)2 Х (руб.)-цена после понижения на n %.

Х- (Х-(0,01n)2 Х)= Х- Х+(0,01n)2 Х= (0,01n)2 Х (руб.)- изменение цены в рублях.

[(0,01n)2 Х]*100:Х=(0,01n)2 *100=0,01n2 =(0,1n)2 –изменение цены в процентах.

То есть, мы получили формулу N=(0,1n)2 для вычисления изменения цены товара в процентах, а А=(0,01n)2 Х — формула для вычисления изменения цены в рублях.

В задачах 11-14 видим N=(0,1*10)2 %=1 % — итоговое изменение цены.

А в задачах 15-17 видим N=(0,1*20)2 %=4 % — итоговое изменение цены.

И, наконец, в задаче 18 получаем N= (0,1*30)2 %=9 % -итоговое изменение цены.

Полученные нами выводы можно применить и проверить их справедливость на примере такой задачи.

Задача 23

Цена на товар вначале была повышена на 15 %, а затем снижена на 15 %. Найти, как изменилась она по сравнению с первоначальной, если товар стоил 120 рублей?

Согласно полученным нами формулам цена изменится на А=(0,01n)2 Х рублей.



В нашем случае А=(0,01*15)2*120=2,7(руб.)

Или 120*0,15=18(руб.)-повысилась цена,

120+18=138(руб.)-стала цена,

138*0,15=20,7(руб.)-понизилась цена,

138-20,7=117,3(руб.)- стала цена,

120-117,3=2,7(руб.) – изменилась цена.

И N=(0,1n)2 %-изменение цены в процентах. В нашей задаче N =(0.1*15)2 =2,25 (%).

Или 2,7:120*100=2,25 (%).

Мы видим, что наши формулы справедливы, прекрасно работают и дают возможность быстро получить нужный результат.

А теперь проведём вычисления в общем виде для случая, когда цена «понизилась- повысилась».

Пусть Х (р)-первоначальная цена товара, n %-изменение цены, тогда Х-0,01Хn (руб.)- цена после понижения на n %.

(Х-0,01Хn)+(Х-0,01Хn)*0,01n =Х-0,01Хn+0,01Хn- (0,01n)2 Х=Х-(0,01n)2 Х (руб.)-цена после повышения на n%.

Х- (Х-(0,01n)2 Х)= Х- Х+(0,01n)2 Х= (0,01n)2 Х (руб.)- изменение цены в рублях.

[(0,01n)2 Х]*100:Х=(0,01n)2 *100=0,01n2 =(0,1n)2 –изменение цены в процентах.

То есть, мы опять получили ту же формулу N=(0,1n)2 для вычисления изменения цены товара в процентах, а А=(0,01n)2 Х — формула для вычисления изменения цены в рублях.

Часть3, задача 31.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов она повысилась всего, если товар стоил 100 р.?

100+0,1*100=110(р.)-стоил товар после 1-го повышения

110 +0,1*110=121(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

121-100=21(р.) –повысилась цена товара, но 21р. составляют 21 % от 100 рублей

Задача 32.

Цена на некоторый товар сначала повысилась на 10 %, затем ещё на 10%. На сколько процентов она повысилась всего, если товар этот стоил 200 р.?

200+0,1*200=220(р.)-стоил товар после 1-го повышения

220 +0,1*220=242(р.) – стал стоить товар после 2-го повышения

242 -200=42(р.) –повысилась цена товара, но 42 р. составляют 21 % от 200 рублей

Задача 33.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap