Формулы полной вероятности и Бейеса



Формула полной вероятности

Пусть событие  может наступить или не наступить вместе с одним из событий , образующихполную группу несовместных событий. Данные события  называются гипотезами, вероятностикоторых известны, а также известны условные вероятности события  при осуществлении каждой из гипотез.Тогда вероятность события  можно вычислить по формуле:

 (21)

которая называется формулой полной вероятности.Пример 28. В группе 3 отличника, 12 хорошистов и 9 троечников. Вероятность сдать экзамен на пять дляотличника равна 0,9; для хорошиста — 0,5; для троечника — 0,2. Найти вероятность того, что наудачу выбранныйстудент сдаст экзамен на пять.Решение. Пусть ={ студент сдаст экзамен на пять}, тогда можно выдвинуть следующие гипотезы:={выбранный студент — отличник}, ={выбранный студент — хорошист}, ={выбранный студент -троечник}. Вероятности этих гипотез можно вычислить, используя классическое определение вероятности,испытанию — выбору студента- соответствует 24 исхода, число исходов, благоприятствующих каждой гипотезе,равно соответствующему количеству студентов, тогда , условные вероятности события  по отношению к каждой гипотезе соответственно равны .Теперь по формуле (21) получаем.Вопрос. В 1-ом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во 2-ом ящике — 9 белых и 6 черных шаров. Из наудачувыбранного ящика берут 4 шара. Событие ={все шары белые}. Какие гипотезы можно выдвинуть?



О составе шаров в ящиках

О составе извлеченных шаров

Из какого ящика взяли шары

Формула Бейеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий  (гипотез), вероятности которых известны.Производится испытание, в результате которого осуществляется событие . Условные вероятности данногособытия по отношению к каждой гипотезе тоже известны. В этом случае можно пересчитать вероятности гипотезв связи появлением события , вычислить их можно по формуле:

(22)

которая называется формулой Бейеса ( или Байеса).Пример 29. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе 0,05;на втором- 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом заводе.Решение. Обозначим событие ={деталь бракованная}, ={деталь изготовлена на i-ом заводе}, где i=1,2.. По условию ,тогда по формуле (22) находим .Вопрос. Чему равна сумма вероятностей гипотез?

заранее не известно

0,5

1

0








sitemap
sitemap