Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения



Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 34

Исследовательская работа на тему:

«Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения»

Работу выполнили:

Кумаритова Дина

Киселёв Виктор

ученики 10 класса

Руководитель:

Косачева Е. В.

Владимир

2010 г.

План работы:

Введение_______________________________________________________________3

Глава I Теоретические аспекты методов решения приведенных квадратных уравнений

Анализ учебника «Алгебра 8 кл. » Мордкович А. Г.______________________5

Решение заданий ___________________________________________________7

Глава II Обыкновенные приведенные квадратные уравнения Виета

2.1 Биография Виета__________________________________________________11

2.2 Решение квадратных уравнений до открытия формулы__________________14

2.3 Научный вклад Виета в решение уравнений___________________________15

Глава III Практикум для изучения подходов к решению заданий с применением теоремы Виета

3.1 Применение теоремы Виета к выполнению различного вида заданий_______17

3.2 Тренажёр для изучения подходов к решению заданий с применением теоремы Виета_________________________________________________________________23

Выводы______________________________________________________________ 24

Список литературы___________________________________________________ 25

ВВЕДЕНИЕ

Наш интерес к участию в четвёртых городских математических чтениях, посвящённых 470-летию со дня рождения Франсуа Виета, вызван проведённой большой исследовательской работой по теме: «Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения». Изучая тему «Квадратные уравнения» по учебнику «Алгебра» автор А. Г. Мордкович, мы решали упражнения повышенной сложности с использованием теоремы Виета и обратной ей теоремы. Автор предлагает решить задания повышенной сложности. Это задания № 997 – 1004. Данные задания заставили нас задуматься над вопросом: «Можно ли применить теорему Виета для уравнений более высокой степени?» Так как в учебнике не изложены факты применимости теоремы Виета к многочленам разных степеней, возникли трудности, что заставило нас искать пути решения возникшей проблемы. Для этого мы поставили перед собой цель: исследование теоремы Виета для многочленов любой степени.

Объект исследования: многочлены различных степеней.

Предмет исследования: теорема Виета.

В качестве гипотезы было выдвинуто предположение, что теорема Виета применима для многочленов любой степени.

Для проверки гипотезы были поставлены следующие задачи:

Провести теоретический анализ школьного учебника « Алгебра 8 кл.» автор А.Г. Моркович;

Изучит вклад Виета в решении уравнений;

Рассмотреть применение теоремы Виета в решении задач повышенного уровня сложности;

Разработать тренажёр для изучения подходов решения заданий с применением теоремы Виета.

Были выведены следующие этапы исследовательской работы:

п/п

Этапы исследования

Содержание деятельности

Срок исполнения

1

Проектировочный

Сбор и изучение исходной информации, необходимый для выполнения исследования



Сентябрь

2

Информационный

Исследование подходов к решению квадратных уравнений с применением теоремы Виета

Октябрь

3

Практический

Исследование подходов к решению уравнений любой степени с помощью теоремы Виета

Ноябрь — Декабрь

4

Контрольно –обобщающий

Решение задач повышенной сложности. Создание тренажёра

Январь

5

Презентационный

Защита работы

Февраль



Актуальность данной работы состоит в рассмотрении, изучении и практическом применении теоремы Виета как для квадратных уравнений, так и для многочленов с более высокими степенями, что позволяет решать задания повышенного уровня сложности.

Глава I Теоретические аспекты методов решения приведенных квадратных уравнений:

1.1 Анализ учебника «Алгебра 8 кл.» А. Г. Мордкович

Мы провели анализ школьного учебника «Алгебра 8 кл.» автора А. Г. Мордкович по теме «Теорема Виета» и выявили, что существует соотношение между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Это соотношение впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет.

Теорема 1(теорема Виета):

Пусть – корни квадратного уравнения Тогда сумма корней равна — , а произведение корней равно :

Например, для уравнения , не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно — , т. е. -2. А для уравнения заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.

Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратные уравнение имеет один корень (т. е. когда D=0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указывают выше соотношения.

Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведённого квадратного уравнения В этом случае получаем: , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трёхчлена на множители.

Теорема 2.

Если и — корни квадратного трёхчлена , то справедливо тождество =

В учебнике рассмотрены следующие примеры:

Пример 1: Разложить на множители квадратный трёхчлен

Решение. Решаем уравнение находим корни квадратного трёхчлена

Воспользовавшись теоремой 2, получаем

Есть смысл вместо 3 написать. Тогда окончательно получаем

Пример 2. Сократите дробь .

Решение: Из уравнения находим Значит,

Из уравнения находим Поэтому

А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3. Разложить на множители выражения:

а) б)

Решение. а) Пусть тогда получаем Решаем уравнение : Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

Осталось вспомнить, что т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

б) Пусть тогда получаем

Решаем уравнение : Далее, используя теорему 2, получаем

Осталось вспомнить, что , т.е. вернуться к заданному выражению. Итак,

1.2 Решение заданий.

№ 997

Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2 – 9х – 17 = 0. Не решая уравнения вычислите: +

..

Ответ: 115

№ 998

Пусть х1 и х2 – корни уравнения . Не решая уравнения, вычислите .

теореме Виета а

Ответ:

№ 999

Дано уравнение . Известно, что сумма корней равна -5. Найдите значения параметра р.

Решение. По теореме Виета .

Т.к. ;

;

Ответ: р = 1,

№ 1000

Дано уравнение . Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра р.

Решение.

По теореме Виета

Т.к. ,то

,

Ответ: ,

№1001

При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения являются противоположными числами. Найдите эти корни.

Решение. Т.к. корни уравнения являются противоположными числами, то по теореме Виета

,

,

,

Представим значение параметра р в уравнении, получим:

если р = 3, то

если р = -3, то

Решим получившиеся уравнения:

Ответ: ;

№ 1002

При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.

Решение. Т.к. корни уравнения являются взаимно обратными числами, то , а так же, по теореме Виета Получаем уравнение р ≠ 0; р = 1

Подставив значение параметра в уравнение, получим .

Решив полученное уравнение, находим

Ответ:

№1003

Дано уравнение . Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра р и корни уравнения.

Решение.

По теореме Виета .

;

Подставив полученные значения параметра, получаем следующие уравнения:

Ответ: при ; при

№ 1004

Разность корней уравнения равна 2,5. Найдите значение параметра р и корни уравнения.

Решение.

т. к. то . Подставив в систему и решив её, получаем р = 25. При р = 25 .

Ответ: при р = 25

Глава II Обыкновенные приведенные квадратные уравнения Виета

2.1 Биография Виета

Примеры на применение теоремы виета

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантенеле – Конт. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году, когда ему было 20 лет, он начал свою карьеру в родном городе , спустя 3 года перешёл на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарём хозяина дома и учителем его 12-ти летней дочери Екатерины. Именно преподавание пробудило интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с семьёй, и переехал с ней в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором СорбоныРамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III, после его смерти и Генриха IV. В 1580 году Генрих III назначает Виета на пост рекетмейстера, это даёт право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов. В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де лаБиготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «… 14 февраля 1603 года, господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых учёных математиков века умер… В Париже, ему более 60-ти лет».

Преподавая частным образом астрономию, Виет пришёл к мысли составить труд, посвящённый усовершенствованию птолемеевской системы. Затем они приступил к разработке тригонометрии и приложению её к решению алгебраических уравнений. Раньше почти все действия и знаки записывались словами, не было намёка на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или выражения. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода, значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это сделал, он первый придумал обозначения для известных чисел, так называемые параметры.

Особенно Виет гордился всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов квадратных дуг через sin (x) и cos (x). Эти значения тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических выражений, так и в геометрии. Через 40 лет после смерти Франсуа Виета его произведения были изданы Ф. Ван Схотеном под общим названием «Опера математика».

Будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался участником исторических событий. Громкую славу он получил при Генрихе III во время франко – испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая всё время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта перепись оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. 2 недели Виет дни и ночи просиживал за работой и всё же нашёл ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов не секрет, что виновник расшифровки – Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, объявили Виета в заговоре с нечистыми силами, которые якобы помогали ему. Заочно Виет был приговорен к сожжению на костре. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял учёного под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти учёного, вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

2.2. Решение квадратных уравнений до открытия формулы.

На примере квадратного уравнения задолго до деятельности Виета была подмечена связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Но с чего же всё начиналось?

В Древнем Вавилоне грамотные люди умели решать довольно сложные уравнения, в том числе и уравнения второй степени.

Мы попробуем разобрать метод, который был изобретён ранее Виета.

Этот метод геометрической алгебры, который продемонстрировал среднеазиатский математик Мохаммед ал – Хорезми.

Задача: квадрат и десять его корней равны 39. Найти квадрат.

Решение: Эта задача приводит к уравнению:

Строим квадраты с неизвестной стороной , а на их сторонах строим прямоугольники со сторонами .

5

10+ = 39 из условия, а следовательно площадь большого квадрата равна 64, значит сторона этого квадрата равна 8, а =3 (8-5=3).

Но видим, что этот метод не годится, так как второго корня мы не можем найти, ведь сторона не может быть отрицательной, а, следовательно, этот метод неэффективный.

Самым желанным было научиться решать уравнения третьей степени: ведь третья степень, куб – это объёмы, их надо учиться вычислять. Решение самого простого кубического уравнения трудностей не составляет.

Попытка решить кубические уравнения путём выделения куба двучлена оказалась очень громоздкой. Она позволила решить лишь отдельные виды кубических уравнений.

И для этого использовались формулы Кордано:

Громоздкость формулы очевидна и поэтому математики искали иные пути для решения уравнений.

2.3. Научный вклад Виета в решение уравнений.

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета.

Чтобы числа x1и x2являлись корнями уравнения ах2 + bх + с = 0 необходимо и достаточно выполнения равенства x1 + x2= -b/а и x1x2= с/а

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения. А именно х2 + bх + с = 0

1. Если b>0, с>0 то оба корня отрицательны.

2. Если b<0, с>0 то оба корня положительны.

3. Если b>0, с<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Если b<0, с<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен: Р(х) = а0хп + а1хп-1 + … + ап имеет n различных корней х1, х2,.., хn.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a0хn + а1xт-1 +…+ аn = а0( х –x1)( х — х2).. .(х – хn)

Разделим обе части этого равенства на а0≠0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap