Этот симметричный мир Реферат



Муниципальное общеобразовательное учреждение. Павдинская средняя общеобразовательная школа.

Реферат по математике на тему «Этот симметричный мир»

Исполнитель:

Симакова Татьяна Ученица 9 класса Руководитель: Симакова Е.С. Учитель математики 1кв. категория

Павда

2008

Содержание

Титульный лист

Историческая справка

Симметрия в математике

Симметрия в других науках

Симметрия в искусстве

Ассиметрия

Заключение (Вывод)

Я выбрала тему « симметрия в окружающем мире» потому что, в школе на уроках геометрии она привлекла мое внимание, а в учебнике про нее очень мало написано, а она меня заинтересовала. Я решила выяснить используется ли симметрия в других науках и встречается ли она в природе, а также историю возникновения этого понятия. Свой поиск я начала с библиотеки, затем продолжила его в Internet.

История симметрии

Красота и гармония тесно связаны с симметрией, это подметили еще древние архитекторы и художники. Слово симметрия происходит от греческого слова, которое означает «такая же мера».

Греческий скульптор Поликлет, очевидно, был первым, кто использовал этот термин еще в 5 веке до н.э.

Во времена Пифагора(5 век до нашей эры) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. В то же время они смогли подвергнуть его серьезному анализу и получить результаты универсального назначения.

Отметим некоторые из них:

Для симметрии важны равенство, однообразие и пропорциональность: однообразно (в смысле подчинения какой — либо математической закономерности) располагая равные части, можно построить симметричную фигуру, скажем, квадрат из четырех равнобедренных треугольников. Если же нарушить закон однообразия в расположении равнобедренных треугольников, то мы получим уже менее симметричную, в пределе — асимметричную, фигуру.

Пифагорейцы выделили 10 пар противоположностей, среди них «правое» (D) и «левое» (L). Из этого следует, что

понятия правого и левого в теории симметрии имеют фундаментальное значение;

а) пользуясь D и L асимметричными образцовыми фигурами (например, запятыми, неправильными треугольниками, тетраэдрами) и «размножая» их соответствующими элементами симметрии, можно построить теорию симметрии любого измерения. Сама же теория, с этой точки зрения, представляется как учение о симметрии специфических противоположностей D и L;

б) изучение природы с точки зрения D и L в дальнейшем привело к одной из важнейших проблем естествознания — к проблеме правизны и левизны.

В большой советской энциклопедии (т.23) это понятие определяется так: Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность)

симметрия, или отражение относительно плоскости «г в пространстве — преобразования пространства при котором каждая точка М переходит в Ml такую, что отрезок ММ1 перпендикулярен плоскости а и делится ею пополам.

Симметрия — геометрическое свойство фигуры, характеризующее некоторую правильность формы фигуры, неизменность её при действии движений и отражений.

Симметрия бывает:

центральной;

Представьте себе зеркало, но не большое, а точечное: точку, в которой все отображается как в зеркале. Вот эта точка и есть центр симметрии. При таком отображении отражение поворачивается не только справа налево, но и с лица на изнанку.

Б) осевой;

зеркально — осевой;

Г) симметрия переноса

Симметрия в математике



Точки А и А’ плоскости называются симметричными относительно точки О, если эта точка является серединой отрезка АА\ Точка О считается симметричной сама себе.

Соответствие, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно точки О точка А\ называется центральной симметрией. Точка О называется центром симметрии.

Две фигуры F и F’ называются симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

Фигура F называется симметричной относительно центра О, если она симметрична сама себе.

Установим связь между осевой и центральной симметриями.

Пусть С\, с2— перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О.

Для произвольной точки А рассмотрим точки А\ и А2, симметричные точке А относительно прямых сх и с2, соответственно. Тогда ОА\ = ОА = ОА2 и угол А\ОА2 равен 180 градусов. Значит точки А\ и А2 симметричны относительно точки О. Таким образом, центральную симметрию относительно точки О, при которой точке А\ сопоставляется точка А2, можно получить с помощью двух осевых симметрий — сначала относительно прямой с\ (точка А перейдет в точку Aj), а затем относительно прямой с2 (точка А\ перейдет в точку А2). Поскольку осевые симметрии переводят прямые в прямые и сохраняют расстояния и углы, то из этого следует, что и центральная симметрия переводит прямые в прямые и сохраняет расстояния и углы.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно — 19 век.

В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению, к каким — то преобразованиям, выполняемым над ними.

Пифагор показал, что отрезок АВ единичной длины можно разделить на две части, что отношение большей части (АС =х) к меньшей (СВ =1-х) будет

AC AC — CB

равно отношению всего отрезка (АВ =1) к большей части (АС): — = ——

СВ СВ

то есть

1-X X

Такое деление Пифагор назвал золотым делением, или золотой пропорцией, а Леонардо да Винчи — золотым сечением, общепринятым термином. Впоследствии учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, эстетике, ботанике, технике.

Поворотную ось можно охарактеризовать с помощью другой величины, называемой порядком оси. Эта величина показывает, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360°. Цветы колокольчика и нарцисса обладают осями пятого и шестого порядка соответственно. Обозначим элементарный угол поворота оси буквой р, а её порядок буквой п. Тогда можно записать

простое соотношение, которое связывает эти две величины:.

Симметрия в других науках

Симметрия в естественных науках

Выделим важный момент в учении пифагорейцев. Диалектичность и современность: « мир — множество, и состоит из противоположностей», «то, что приводит противоположности к единству, и создаёт все в космосе», есть симметрия; симметрия и заключается в числовых отношениях (математических). Сейчас создано несколько теорий симметрии противоположности. Одна из них, Хенна — Шубникова, получившаяся широкое применение в кристаллографии, физике, биологии, так и называется — «теория антисимметрии». Законы симметрии, а в их число включается и законы сохранения, «контролирует» ход, направления, результаты физических и химических реакций. Есть сведенья, что особые законы сохранения «контролируют» также биологические и логико-психологические процессы. Посредством принципов симметрии строятся (или уже построены) естественные классификации элементарных частиц (Гелл — Манн, Неман и др.), атомов (таблица Менделеева), молекул, кристаллов (Гессель, Федоров и др.), организмов (Беклемишев и др.).

Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет?

Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Кристина Тарлинктон — супермодель, признанная одной из самых красивых женщин в мире, — считает, что по большей части она обязана своим успехом в качестве модели идеальной симметрии своих губ.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходимы нашему зрительному

восприятию для того, чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и

пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии. Смотреть на

симметричные изображения приятнее, нежели на ассиметричные.

Общие принципы строения организма человека заложены миллиарды лет назад, когда формировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных. Одним из признаков, переданных нам, является двухсторонняя симметрия человеческого тела. Среди врачей существует мнение, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции тела. « Симметричные» животные живут дольше, чем «несимметричные», что также говорит в пользу того, что симметрия — это показатель здоровья. Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству. Асимметрия лица — это показатель старения.

Симметрия кристаллов

Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы.

Кристалл — это твердые вещества, характеризующиеся упорядоченным расположением в пространстве ионов, атомов или молекул. Кристаллы широко используются в науке технике. Отграненные кристаллы драгоценных камней используют как украшения, но многим такие украшения не по карману.

Кристаллографы давно обратили внимание на то, что в кристаллографии запрещена ось пятого порядка. Она полностью исключена из неживой природы. Но эта ось повсюду присутствует в живом мире. То есть ось пятого порядка — симметрия жизни.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько симметрий. Кристалл кварца совмещается с собой при повороте на угол 120° вокруг оси q, но и при повороте на угол 240° вокруг оси q.

Теперь поговорим о видах симметрии в кристалле. Прежде всего, в кристаллах могут быть оси симметрии только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков. Представим плоскость, которую надо полностью покрыть семи-, восьми-, девятиугольниками и т.д., так чтобы между фигурами не оставалось пространства, это не получится, пятиугольниками покрыть плоскость так же нельзя. Очевидно, оси симметрии 5, 7-го и выше порядков не возможны, потому что при такой структуре атомные ряды и сетки не заполнят пространство непрерывно, возникнут пустоты, промежутки между положениями равновесия атомов. Атомы окажутся не в самых устойчивых положениях и кристаллическая структура разрушится.

В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии — у одних мало, у других много. По симметрии, прежде всего по осям симметрии, кристаллы делятся на три категории. К таким формам относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др.

К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы, у них может быть несколько осей симметрии порядков 2,3 и 4, нет осей 6-го порядка, могут быть плоскости и центры 6

Им всем присуща общая черта: они примерно одинаковы во все стороны.

У кристаллов средней категории могут быть оси 3, 4 и 6 порядков, но только по одной. Осей 2 порядка может быть несколько, возможны плоскости симметрии и центры симметрии. Формы этих кристаллов: призмы, пирамиды и др. Общая черта: резкое различие вдоль и поперек главной оси симметрии. У кристаллов низшей категории не может быть ни одной оси симметрии 3 4 и 6 порядков, могут быть только оси 2 порядка, плоскости или центр симметрии. Структура данных кристаллов самая сложная.

Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово, вольфрам, железо; к средней категории — графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл; к низшей — гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль и др. Конечно в этом списке не были перечислены все существующие кристаллы, а только наиболее известные из них. Категория, к которой принадлежит кристалл, характеризует его физические свойства. Каждый кристаллический многогранник обладает определенным набором элементов симметрии. Полный набор всех элементов симметрии, присущих данному кристаллу называется классом симметрии. Сколько же всего таких наборов? Их количество ограничено. Математическим путем было доказано, что в кристаллах существует 32 вида симметрии.

Симметрия в химических, физических науках.

Симметрия кристаллов связана симметрией частиц, которые его образуют.

У снежинки шесть осей симметрии. Наверное, она была бы совсем другой, если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

Симметрия в мире атомов и молекул — очень распространенное явление. Например, молекула воды, оксид углерода обладают зеркальной симметрией, молекула метана — поворотной симметрией. Еще Дж. Дальтон считал, что атомы в химическом соединении должны располагаться симметрично. И многие другие ученые полагали, что одинаковые по своим свойствам части химических молекул одинаково симметрично расположены. Эти взгляды нашли отражение в способе написания формул, особенно формул органических соединений.

Не исключено, что атом в неживой природе имеет наиболее компактную упаковку и минимум потенциальной энергии. В случае пятилучевой симметрии такой законченности нет, и появляется определенная степень свободы, в направлении которой возможно движение вещества и осуществление процесса обмена веществ одного из важнейших признаков жизни. Подавляющее большинство живых организмов обладает одним из трех её видов: шаровидной, осевой, а более высокоразвитые существа — зеркальной симметрией.

Симметрия в биологии На явление симметрии в природе обратили внимание еще в Древней Греции пифагорейцы 5 век до нашей эры в связи с развитием учения о гармонии. В 19 веке появились идентичные работы, посвященные симметрии растений, животных, биогенных молекул.

В 20 веке биообъекты изучали с позиции общей теории симметрии и учения о правизне и левизне. После этого выделили — биосимметрику.

Винтовая симметрия, осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополняемый переносом вдоль той же оси, наблюдается при расположении листьев у растений.

Встречаются левые и правые винты.

Примерами природных винтов являются: бивень нарвала — левый винт, раковина улитки — правый винт, рога памирского барана закручены по разному один по правому винту, а другой по левому.

Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается или расширяется на конце.

Спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы — белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты — ДНК; являющиеся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структуру правой двойной спирали.

Подлинным царством природных винтов является мир «живых молекул», к которым относятся, прежде всего, молекулы белков. Все части тела, включая кости, кровь, мышцы, сухожилия, волосы, содержат белки. Молекула белка представляет собой цепочку, составленную из отдельных блоков и закрученную по правой спирали. Её называют альфа — спиралью. За открытие альфа — спирали американский ученый Лайнус Полинг получил Нобелевскую премию самую высшую награду в научном мире.

Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. А вот плоды (яблоко или груша) достаточно правильной формы могут оказаться совмещенными сами с собой при повороте на любой, в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси, идущей вдоль черенка (естественно, при условии некоторой идеализации их формы).

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый лепесток появляется после поворота на 72. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага. Оказывается, винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи, которые играют немаловажную роль в природе.

Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений. Удивительно симметричны листья дуба, вербы, клена, крапивы.

Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветка колокольчика он равен 72, для нарцисса — 60.Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси.

Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия медузы, морские звезды) служит не только для красоты; она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью.

Человеческое тело, также как и тело других позвоночных, в основе своей построено зеркально симметрично.

Человек обладает осевой симметрией. Осью симметрии является позвоночник. У человека левая сторона симметрична правой.

На рисунке А.Дюрера «изучение пропорций» хорошо видно: размеры отдельных частей тела человека (за единицу измерения выбрана голова) находятся в отношении 1:2:3:5:8 и составляют ряд Фибоначчи. Размеры головы обозначим Г, тогда плечи равны — 2Г, размах рук — 8Г, грудь — 2Г, бедро — 2Г, голень — 2Г, пояс — щиколотки — 5 Г, макушка — ступня — 8Г, размах одной руки — ЗГ. С древних времен установлено, что если стопу человека принять за единицу измерения — фут, то рост человека составит 6 футов, а голова вместе с шеей — 1 фут. Деление головы на характерные части дает целый ряд отношений, очень близких к золотому сечению. То же самое можно сказать о руке и ладони.

«Пропорции человека» Леонардо да Винчи — известная работа, иллюстрирующая симметрию.

Симметрия в искусстве

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны (относительно оси или центра) узоры на коврах, тканях, обоях.

Симметрия в искусстве получила распространение, как один из видов гармоничной композиции.

Одна из известных фресок Леонардо да Винчи посвящена сюжету из Евангелия, в котором рассказывается, как преследуемый Христос тайно встречается со своими учениками. Пространство в картине организовано строго симметрично. Симметрично расположены и фигуры за столом: 3+3+1 +3+3.

Симметрия свойственна произведениям архитектуры и декоративноприкладного искусства. Она используется в качестве основного приема построения бордюров и орнаментов.

Комбинации симметрии вызывают большой интерес у ученых в различных областях естествознания, например симметрия в биологии.

Симметрия в архитектуре

В архитектуре симметрия очень популярна. Многие архитекторы добиваются симметричности своего построения даже с невыгодой для них. Они говорят, что симметричное здание крепче и красивее.

Кроме симметрии встречается и её противоположность асимметрия.

Кроме симметрии применяют в архитектуре и асимметрию. Средством создания единства в асимметричных композициях является зрительное равновесие частей по массе, фактуре, цвету и пр. Примеры композиционно цельных асимметричных сооружений — Спасо-Преображенский собор Мирожского монастыря в Пскове (XII в.) и жилой дом на Смоленской площади в Москве (И. Жолтовский). Роль асимметрии в композиции

архитектурных форм — в выявлении динамики художественного образа сооружения. В сложных композициях могут сочетаться симметрия и асимметрия. Ярким примером такого сочетания является собор Василия Блаженного в Москве (1555-1561, Барма, Постник Яковле

Пример асимметрии из литературы По произведению Н.В Гоголя «Мертвые души» я могу привести пример полной асимметрии дома, это дом Собакевича вместо четырех колон поставил три, вместо трёх окон на одной половине, сделали одно маленькое.

Дизайнеры не любят симметрию, а предпочитают асимметрию!!! Но зато ее любят строители и архитекторы!

Работа дизайнера заключается в том, чтобы не испортить смысл дизайном.

Нужно найти идею и донести ее до зрителя так, чтобы она прозвучала и оставила впечатление.

Однако большинство из тех, кто себя считает дизайнерами, придерживается другой точки зрения. Они уверены, что дизайн — это когда не сразу понимаешь, что хотели сказать.

Симметрия помогает дизайнеру все испортить.

Пример первый

Расположение слов по схеме «13 2» вместо «1 2 3» встречается повсеместно — на улицах любого города, в любой газете с рекламными объявлениями.

Зритель видит «Товары для ВАКА». Задумывается. Находит слово «животных». Затем начинает переваривать полученную информацию.

Такое расположение текста в угоду симметрии можно увидеть практически на любом кинотеатре, например: «КИНО ПОЛЯРНЫЙ ТЕАТР». Имеется в виду кинотеатр «Полярный», но для дизайнера проще уйти в дворники, чем поставить слова в таком порядке. «Стоматологические УЛЫБКА услуги». «Всегда в продаже 19 РУБ.! кофе на вынос». Остальные примеры найдете сами, оглянувшись по сторонам.

Пример второй

Поиск закономерностей, совпадений, общих элементов — один из основных инструментов дизайнера. Но только не в ущерб смыслу.

Это означает «Центральное бюро путешествий». Даже бустрофедон (одна строка — слева — направо, следующая — справа — налево) легче читать. Здесь же зритель должен спуститься сверху вниз, потом подняться наверх, пройти слева направо, а потом снова отправиться вниз. А некоторые будут читать парами: «ЦП ЕУ НТ…», пока не поймут, что смысла не прибавляется.

Результаты тестирования показывают, что зритель тратит на правильное прочитывание этой вывески вслух от 7 до 30 секунд. При этом первая реакция — молчание, а потом только попытка произнести слова. Первая попытка — «бюро центральное путешествий» — не засчитывается. Возьмите секундомер и проверьте на своих знакомых.

Вывод.

Стоит учесть, что такие приемы оформления, как симметрия и центрирование, постоянно применялись до начала 1920-х годов. Новая волна принесла нам замечательнейшее изобретение — асимметрию. Ее стоит применять при размещении информации. Асимметоия — не просто художественный прием, это способ добиваться понимания.

Заключение

С помощью книг и Интернета я убедилась в том, что симметрия встречается во многих науках, почти во всех. Симметрия это все красивое, упорядоченное. Большинство предметов в природе создано по законам симметрии. Асимметрию лучше использовать как художественный прием при размещении информации и рекламе.

Мы, сами того не замечая, многие вещи, делаем симметрично, хотя слово «симметрия» для этого не используем. Теперь после того, что я узнала о симметрии, мне хочется, чтобы у меня все было в дальнейшем симметрично.

Литература

название

автор

год

издания

Издательство

Большая советская энциклопедия

А.М.Прохоров

1976

«Советское издательство» Москва

Перекрестки физики, химии и биологии

В.Р.Ильченко

1986

«Просвещение»

Москва

У чебно-методическая газета «Математика»

А.Соловейчик

№6 2006

«Первое сентября» Москва

Использование системы поиска в Интернете








sitemap
sitemap